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Irrationnalité

Posté par
prisonnierde 16-02-24 à 16:24

Bonjour,
Voici un nouvel exercice que je n'arrive pas à résoudre :
Soit a \in \mathbb{Q} tel que \sqrt a \notin \mathbb{Q}.
Montrer qu'il existe une constante K > 0 telle que :
\forall (p, q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^*, |\frac{p}{q} - \sqrt a| \geq \frac{K}{q^2}

J'ai décidé de raisonner par l'absurde et la seule idée que j'ai eu pour l'instant consiste en construire une suite (\frac{p_n}{q_n})_{n \in \mathbb{N}} convergeant vers \sqrt a, mais j'avoue ne pas savoir où aller ensuite (je voulais ensuite montrer que cette même suite tendait vers un rationnel, et ainsi en conclure par unicité de la limite que \sqrt a est rationnel, absurde au vu de l'hypothèse d'irrationnalité)

Pourriez-vous me donner un coup de pouce ?
Merci d'avance

Posté par
GBZMre : Irrationnalité 16-02-24 à 17:36

Bonjour,
Tu pux réfléchir à \left(\dfrac{p}{q}-\sqrt{a}\right)\left(\dfrac{p}{q}+\sqrt{a}\right).

Posté par
prisonnierdere : Irrationnalité 17-02-24 à 00:47

Bonsoir, j'avoue que je n'ai pas du tout pu avancer sur l'exo, malgré votre indication, pourriez-vous un peu plus m'éclairer ?

Posté par
GBZMre : Irrationnalité 17-02-24 à 09:12

Peux-tu minorer le produit que j'ai indiqué, sachant que le rationnel a=\dfrac{b}{c}  où (b,c)\in {\mathbb N}\times{\mathbb N}^*, n'est pas un carré dans \mathbb Q ?


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