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Niveau Licence Maths 1e ann
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isomorphisme

Posté par
inespaiva
02-10-23 à 18:05

Bonjour,
J'ai cet exercice que je comprend pas très bien comment il faut faire pour le démontrer, je sais la définition d'isomorphisme et aussi de groupe, sous-groupe et sous-groupe normal(distingué), mais je ne comprend pas comment on démontre cet exercice, j'espère que quelqu'un pourra m'aider avec ceci, je vous remercie en avance.

On considère le groupe des permutations à 4 éléments S4 et son sous-groupe distingué A4. On définit
V4 := {id,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}
Démontrer que S4/V4 ≃ S3 et que A4/V4 ≃ Z/3Z.

Posté par
carpediem
re : isomorphisme 02-10-23 à 19:18

salut

quel est l'ordre des éléments de V4 ?

Posté par
GBZM
re : isomorphisme 02-10-23 à 19:34

Bonjour,
Une manière de faire est de trouver un homomorphisme de S_4 sur S_3, dont le noyau soit V_4.
Moi, j'aime bien voir les choses géométriquement : S_4, c'est le groupe des isométries du tétraèdre régulier. On numérote les sommets 1, 2, 3, 4, et une permutation des sommets donne une isométrie du tétraèdre. Par exemple (1,4)(2,3) échange les sommets 1 et 4 et échange les sommets 2 et 3 : c'est la rotation d'un demi-tour d'axe la droite joignant les milieux des arêtes opposées [1,4] et [2,3].
Si on veut arriver sur S_3 ça serait bien d'avoir un ensemble assez naturel à trois éléments attaché au tétraèdre. Eh bien tiens, justement, il y a trois droites joignant les milieux de paires d'arêtes opposées.
Je ne sais pas si cette approche géométrique te parle. Souvent, cela fait peur aux étudiant(e)s, ce qui est dommage.



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