Bonsoir,

tu devrais, quesstion de lisibilité, aller faire un petit tour du côté de la syntaxe pour écrire des formules mathématiques.

on peut réussir à faire très facilement ou ou encore

Il vaut mieux noter tes suites pour éviter les problèmes.

Pour montrer la linéarité, comment procédes-tu ?

Pour montrer qu'une application linéaire est injective, il y a une méthode très rapide...

Pour montrer qu'elle est surjective, c'est encore plus facile (dans le cadre de l'exemple de ton exercice).

Bonsoir

Merci de m'avoir répondu aussi rapidement.

pour la linearité on avait vu en sup:
V (A,B) \in\ R il faut que
F(A+B)=F(A) + F(B)
F(A)= F(A)
si ces deux conditions sont respectées alors F est linéaire
et pour l'injectivité il faut montrer que Ker(F)={O}
et après il faudrait montrer que dim(E)=dim(F) pour montrer que c'est surjectif il faut que dim(F)=dim(^p)

si je ne me trompe pas

Merce pour vos conseils!
cordialement AK

Oui, oui (on peut se tutoyer ?), tu connais très bien les outils à mettre en oeuvre. Tu ne devrais pas trouver de problème à la résolution de l'exercice.

L'exercice consiste à montrer que l'ensemble des suites définies par une récurrence d'ordre p (fixée) est un espace vectoriel de dimension p. Il y a un point délicat, l'espace vectoriels des suites est un espace de dimension infini. Mais on s'en débarasse rapidement. Plus formellement les suites récurrentes d'ordre p est :

où on a fixé les et on prend garde que pour que ce soit pas une récurrence d'ordre p-1.

On demande de motrer que fixer les p premières valeurs de la suite détermine toute la suite.


Est-ce que ces indications sont suffisantes ? Sinon, dis-moi précisément le point qui bloque ?

Merci beaucoup je crois que j'ai compris.
En montrant que F est de dim p puisque les suites sont d'ordre p. et c'est pour cette raison que ₀0

Mnt j'ai une question un peu plus précise.
Est-ce qu'on peut écrire:

(U_n)=₀U₀+ ... + _p-1U_p-1
parce que pour montrer que c'est linéaire je sais pas trop quoi prendre comme fonction parce que j'ai du mal à mettre sous forme de fonction cette application:

:F^p
               (Un)_n(U₀, U₁, .... , U_p-1)


Voilà
Merci pour tes indications.
AK

Je ne sais pas si tu as compris...

Considérons un exemple simple, p=1 avec . Les suites qui vérifient :

sont exactement les suites géométriques de raison . Une telle suite est entièrement determinée par son premier terme car on a la relation :


Maintenant,

est bien linéaire, car par définition :

et en particulier :

oki

je vois mieux . Merci

Je vais pouvoir continuer mon dm maintenant.

Merci

Mnt j'ai un autre petit soucis :s ...
on pose B=^-1(BC) où BC est la base canonique de ^p
et faut donner une description des suites e⁽¹⁾,..., e^(p)
de B

dans ca cas la base canonique c'est:
(1,0, ... ,0)
(0,1, ...,0)
...

...
(0, ... ,0,1)
et e⁽¹⁾ c'est le vecteur ligne 1 de la matrice dans la base B
...
e^(p) c'est le vecteur ligne p de la matrice dans la base B

Je ne suis pas d'accord avec toi, est une suite (car un élément de F).

Qui est la base B ?

euh...

e¹ c'est une suite. on peut donc l'exprimée à l'aide de ^-1
pour trouver e¹ on applique ^-1
au premier vecteur de la base canonique de ^p

Que veut dire exprimer à l'aide de ?

Essaye de résoudre ce problème sur l'exemple que je t'ai donné.

si

(Un)=U₀
alors Un=^-1(U₀)

Ce n'est pas vraiment une expression... en plus elle est fausse :
.

Pourquoi est-elle bien définie ?

L'exrcice est : calculer explicitement les termes de la suite lorsque v est un élément de la base canonique.

^-1 est bien définie parce qu'on a montreé pécedement que c'est un isomorphisme cad une applicatio linéaire bijective. et donc ^-1 existe.

D'accord avec toi.

Mais n'est pas vraiment une description de suite, comme tu le demandais.

Une descritpion de suite est
u_0 vaut ça
u_1 vaut ça
u_2 vaut ça
etc

Bonjour,ayant le même genre de problème et étant coincé,je me permet de répondre à ce topic en réutilisant les notations déjà utilisées.

Voilà les différentes questions que je me pose:

Si l'on prend le premier vecteur canonique : (1,0, ... ,0)

doit on lui appliquer ^-1 pour obtenir e⁽¹⁾?

Et si oui on obtien  e⁽¹⁾ = U0 qui est une constante?

Merci à vous de m'éclairer sur ces différents point.

Une suite constante n'est que rarement dans ! n'est pas du tout la suite constante égale à .

On prend bien le premier vecteur canonique et on lui applique pour obtenir . Ce qu'on obtient c'est la suite de F telle que :


Il n'y en a qu'une car on peut montrer que est injective. Cependant, pour répondre à l'exercice, il faut décrire tous les autres termes de la suite à partir de la relation de récurrennce.

Por décrire tous les autre termes de la suite avec la relation de récurrence,il faut fixer n=0 et faire varier p?

Si c'est le cas U₁=₀U0?

Mais ca serait impossible vu que U1=0 et que ₀0.

Je crois comprendre le but de l'exercice,mais je ne comprends pas vraiment comment utiliser cette recurrence,quoi que je fasse je tombe sur des égalités impossible.

p est fixé au début de l'énoncé ! Ce n'est pas une variable.

Je ne crois pas que tu comprends le but de l'exercice si tu me dis que p est une variable. Prends p=1 pour le moment, c'est-à-dire que :

1) la relation de récurrence est de la forme :

avec non nul.

2) L'espace est de dimension 1, il n'y a que la suite telle que : qu'il faut expliciter.

On se trouve dans le cas d'une suite géométrique de raison .

On a donc une suite tel que :

=1+++...+


Donc pour p fixé on aurait une suite tel que

=1+₀+(_p-1*₀)+((_p-1*_p-1*₀)+_p-2*₀)....

ou plus clairement  
=₀+_p+_p+1....

Je suis d'accord avec ta première phrase.

Je ne comprends pas la suite : c'est quoi ces + ?

Je pensais qu'il fallait calculer pour p fixé ,et grâce à la récurrence tous les termes a partir du p-ième (tous les autres étant connus), et les additionner  pour obtenir la suite e⁽¹⁾

(Désolé pour le multi post)

En me relisant j'ais compris l'erreur grossière que j'ais commise

On a =U₀*

Maintenant je suis d'accord avec toi.

Il n'y a qu'une seule suite géométrique de raison dont le premier terme est , il s'agit de la suite définie par :




Après ces quelques remarques faciles sur le cas il s'agit de généraliser à p quelconque.

il faut donc que je trouve un lien entre _p,_p+1,_p+2...?

Non pas vraiement un lien entre.

Mais lorsque tu as montré que était injectif tu as aussi montré que ne dépendent que des p premiers termes de la suite . Il existe donc des formules pour ces termes là. Il faut les expliciter dans le cas où c'est-à-dire :

Donc il faut que j'explicite tous les _p+n.
Par exemple pour ⁽¹⁾ on aurait :

_p=₀*U0
_p+1=_p-1*_p=_p-1*₀*U0

Et faire la même chose pour  ⁽²⁾ ...

La seule difficulté serait donc de trouver comment s'ecrirait _p+n pour les ⁽⁾?

Oui, c'est exactement ça !

Si tu continue à expliciter les termes de tu devrais voir apparaîtres des relations relativement simple entre et .

Malheuresement les relations que je vois apparaître pour ⁽¹⁾ ne sont pas simples:

J'obtiens cela : _n=U0*(₀*(_p-1^n-p+....+_n-p)

Les "...." symbolisant des expressions que je n'arrive pas à expliciter pour _p+n

En effet, tu as raison, c'est pas joli joli ! J'ai l'impression qu'on ne peut pas trouver de relation pour tout n, je suis aller un peu vite tout à l'heure.


Par contre, il existe une base sympathique pour . Au lieu de prendre de la base canonique, il vaut mieux regarder une autre base.

On s'intéresse au polynôme :


Supposons que est une racine de alors on peut exprimer très simplement .

Si le polynôme admet p racines distinctes, on trouve une jolie base de , sinon c'est un peu plus délicat.

Mais par la suite j'ais une autre application,et dois montrer que F est stable par celle ci dans le but de trouver sa matrice et de calculer son polynome caracteristique.Je pensais qu'il fallait utiliser la base en rapport avec ^-1(BC) pour trouver une matrice simple(avec des coefficient sur la diagonale).Mais en effectuant un changement de base même si le polynome caracteristique reste le même la matrice obtenu ne sera elle pas plus compliqué?

Et vu que les sont des suite, comment pourrais je en tirer une base?

J'avoue me perdre un peu.

Les forment une base de F. Ce n'est pas la peine d'en "tirer une base"...

Lorsque tu travailles sur F, il suffit de travailler sur les p premiers éléments de tes suites (c'est ce que tu viens de montrer). La base est la façon la plus simple de le faire. Les suites associées aux ne sont pas forcément simples, mais les p premiers éléments le sont.

Donc ma matrice sera une matrice avec des 1 partout sur la diagonale?

ça dépend de ton application !

Si ton application est :



sa matrice ne peut pas avoir seulement des 1 sur la diagonale.

Quelle est l'application en question ?

C'ets l'application f: FF
                            


avec =_n+1

OK...

As-tu montré que F était bien stable ?

Il suffit de calculer les .

En tout cas, il n'y a pas de 1 sur la diagonale... sinon ça voudrait dire que , ce qui est loin d'être le cas !

On a f(⁽ⁱ⁾)=⁽ⁱ⁺¹⁾


On a donc f(F) F


Il me faut donc une matrice qui me decale les valeurs de la matrice de

Attention ta formule est bonne que pour i=0,..,p-2 !

Une matrice est facile à écrire : on écrit dans la ième colonne l'image du ième vecteur... (dans la base ).

C'est vrai j'ais donc facilement les  p-1 premiere colonne de ma matrice.Le seul probleme vient de _p-1.

Mais si _p-1=_p

J'ais le droit de dire que j'ais un ₀ au niveau de ma premiere ligne et de mon avant derniere colonne de ma matrice , ou est-ce incorrect?

Pardon je voulais dire au niveau de ma première ligne et de ma dernière colonne.

Pourquoi la première ligne ?

Ecris moi tes p-1 premières colonnes...

Et que vaut ?

Pour moi les p-1 premières colonnes sont:

000.....
100.....
010.....
001.....
    .
    .
000....1


et f(^(p))=₀*⁽¹⁾

Je suis d'accord avec tes p-1 premières colonnes...

Par contre je trouve .

Je ne comprends pas comment vous avez trouvé cela?
pour moi on a _p-1=_p


d'ou le f(^(p))=₀*₍₁₎

La suite est telle que :



Il s'agit donc de déterminer pour l'exprimer dans la base . Et ce est tel que :



d'où

Ah merci bien j'ais compris mon erreur. En tout cas je vous remerci d'avoir pris autant de temps pour m'expliquer.Bonne soirée.

Je suis content que tu aies compris. Au plaisir.