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isomorphisme de groupe
Bonjour, j'ai des difficultés avec l'exercice suivant:
Montrer que 
2
3est isomorphe à 6.
On sait que: 2 est isomorphe à {e,a}
et que:3 est isomorphe à {e,b,b2}
donc, on a: 23est isomorphe à {c,c2,c3,c4,c5,c6=e}
avec c = (a,b) et c6=e=(e,e).
Or: 6 est isomorphe à{d,d2,d3,d4,d5,d6=e}
Donc quelque soit k
{1,....,6}, on peut définir une bijection 
: 23
6
telle que: (ck)=dk.
On f=vérifie que c'est un morphisme de groupe, c'est le cas et on obtient le résultat souhaité.
Cela dit, dans6, il ya un élément d'ordre 2 et un d'ordre 3, cela veut donc dire qu'il y a plusieurs neutre dans mon ensemble {d,d2,d3,d4,d5,d6=e}, et donc j'ai un problème quand je définit ma bijection.
Z6 est cyclique, montre que Z2 x Z3 est cyclique, et tu auras terminé. Il suffit de trouver un générateur...
Ensuite, tu peux construire ton isomorphisme en envoyant 1 (de Z6) sur le générateur de Z2 x Z3 que tu auras trouvé.
Pourquoi ne pas considérer f : /2 /3 définie par f(x) = (classe modulo 2 de x , classe modulo 3 de x) et montrer que f est un morphisme de groupes surjectif , trouver son noyau et passer au quotient ?
Pourquoi ne pas considérer f :
/2 /3 définie par f(x) = (classe modulo 2 de x , classe modulo 3 de x) et montrer que f est un morphisme de groupes surjectif , trouver son noyau et passer au quotient ? Il a déjà du mal avec les groupes cycliques, alors on ne va pas commencer à lui parler de groupes quotient.
(Pas sûr qu'il les ait vus, d'ailleurs.)Pour tout entier n, le groupe Zn est cyclcique et 1 en est un générateur. Si tu n'as pas vu ça en cours, ça
Donc Z_2 = {e,a}, Z_3 = {e,b;b²}, Z_6 = {c,c²,c³,c⁴,c⁵,c⁶=e}
c = (a,b)
c² = (a²,b²) = (e,b²)
c³ = (a³,b³) = (a,b³) = (a,e)
c⁴ = (a⁴,b⁴) = (e,b)
c⁵ = (a⁵,b⁵) = (a,b²)
c⁶ = (a⁶,b⁶) = (e,e)
f(a,b) = (a,b)...
Tu peux difficilement travailler sur les groupes sans connaître ce genre de résultats de base... Une démonstration "normale" serait de voir que le sous-groupe de Z_2 x Z_3 engendré par (1,1) est
(1,1)
(2,2) = (0,2)
(1,3) = (1,0)
(2,1) = (0,1)
(1,2)
(2,3) = (0,0)
Il est donc d'ordre 6, et c'est Z_2 x Z_3 tout entier. Ça signifie que Z_2 x Z_3 est cyclique, et donc isomorphe à Z_6.
Je viens d'aller consulter la fiche sur les groupes. Donc ça y'est j'ai au moins les définitions de base pour un groupe monogène et un groupe cyclique.
Donc maintenant je vois bien que:6 est cyclique de même que 23.
Cela dit le passage de ces constatations, à ces deux groupes sont donc isomorphes reste obscure....
Et j'ai toujours, mon problème d'ordre des éléments de 6:
On sait que l'ordre des éléments d'un groupes divise l'ordre du groupe, 6 étant d'ordre 6, et 2,3 étant des diviseur de 6 il y a dans 6 un éléments d'ordre 2 et un de 3.....
Cela dit le passage de ces constatations, à ces deux groupes sont donc isomorphes reste obscure....
Tout groupe cyclique d'ordre n est isomorphe à Z_n. Si A est un groupe cyclique d'ordre n, on note a un générateur de A, et on a un isomorphisme de A dans Z_n qui envoie a sur 1.
Et j'ai toujours, mon problème d'ordre des éléments de
6:
On sait que l'ordre des éléments d'un groupes divise l'ordre du groupe,
6 étant d'ordre 6, et 2,3 étant des diviseur de 6 il y a dans 6 un éléments d'ordre 2 et un de 3.....ALors déjà, attention. Il est faux en général de dire qu'un groupe d'ordre n admet nécessairement un élément d'ordre d pour tout diviseur d de n.
C'est par contre vrai si le groupe est cyclique. Donc oui, Z_6 admet bien un élément d'ordre 2 est un (deux, en fait) élément d'ordre 3. Et en quoi est-ce un problème ?
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