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Isomorphisme de groupes

Posté par
ardea
05-01-23 à 12:37

Bonjour et bonne année à tous,

Si on a deux groupes G et G' contenant respectivement H et H' tels que G ≃ G' et H ≃ H', a-t-on automatiquement : G / H ≃ G' / H' ? Ou bien cela est vrai sous certaines conditions ?

Merci de votre aide.

Posté par
GBZM
re : Isomorphisme de groupes 05-01-23 à 14:04

Bonjour,

Non, ça ne marche pas. Je te laisse trouver un contre-exemple où G, G', H, H' sont tous isomorphes à \mathbb Z.
Par contre si on a un isomorphisme de G sur G' qui envoie H sur H', ça marche. Je te laisse vérifier.

Posté par
ardea
re : Isomorphisme de groupes 05-01-23 à 16:44

Merci pour ton aide GBZM

Posté par
GBZM
re : Isomorphisme de groupes 05-01-23 à 17:11

Avec plaisir. As tu trouvé un contre-exemple comme suggéré ?

Posté par
ardea
re : Isomorphisme de groupes 07-01-23 à 09:52

Désolé pour le retard. J'espère ne pas dire de bêtise.

Prenons 2 et 3 dans (Z,+) et considérons les sous-groupes〈2〉et〈3〉qui valent respectivement 2Z et 3Z. Ces sous-groupes étant infinis et monogènes, ils sont isomorphes à (Z,+).

On a donc pour résumer : Z ≃ Z,  2Z ⊂ Z et 3Z ⊂ Z tels que  2Z≃ 3Z. Pourtant Z/2Z et Z/3Z ne sont pas isomorphes n'ayant pas le même cardinal.

Posté par
GBZM
re : Isomorphisme de groupes 07-01-23 à 10:39

Exactement.



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