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Itération d'une relation de récurrence (Intégrales)
Bonsoir
Je suis en train de réviser les intégrales, et il y a une méthode que je ne comprends pas dans l'exercice.. (Les _(n) désignent "indice n")
On a pour tout n naturel,
I_n = 
0à1 (ln(1+t))^n dt
On a montré que I_n = 2.ln^n(2) - n.I_(n-1)
On veut ensuite trouver l'expression de I_n.
Ils disent
"En itérant cette relation, on a pour tout n naturel non nul,
I_n= 2 
(k de 0 a n-1) (-1)^k. n!/(n-k)!.ln^n-k(2) + (-1)^n n! I_o.
Je ne comprends pas du tout le principe.
Il apparait dans un autre exercice avec
J_n= (0a1) t^n e^-t dt
J_n= nJ_ (n-1) - 1/e
et donc en itérant, on a J_n = n! J_o - 1/e. (k de 0 a n-1) n!/(n-k)!
Quelqu'un pourrait-il m'expliquer le principe?!
Merci beaucoup d'avance, bonne soirée
Arctan
Bonsoir,
je ne comprends pas trop l'expression de la première...
La deuxième je comprends mieux donc je t'explique sur celle-ci.
Tu as :
Donc
par conséquent :
De même :
D'où :
etc...
Au final en réitérant jusqu'à J0 on obtient :
Merci beaucuop, j'ai mieux compris la deuxième..
J'avais compris qu'il fallait "redescendre" mais je factorisais mal avec 1/e, et ne reconnaissais pas du tout une somme de factorielles..
Merci beacoup!
Pour la première, ça reste aussi un mystère pour moi.. SI quelqu'un d'autre à une idée ? Pour celle là justement on se perd beaucoup plus en essaynt de reexprimer le terme d'indice inférieur à chaque fois.. Comment se débrouiller ?!
Bonne nuit à tous
Arctan
Bonjour!
Et merci beaucoup. Malheureusement jusque là je comprenais, mais ensuite en remplaçant et remplaçant et remplaçant..je m'embrouillais, et j'arrive toujours pas à voir comment passer de ça, à la formule donnée.
Peux tu me montrer l'étape qui suit ? Comment regrouper les termes jusqu'à I_o ?
Les termes intermédiaires disparaissent... La seule différence avec la formule que l'on te donne est que moi j'ai des n(n-1)...(n-k+1) qui dans ta formule figurent comme n!/(n-k)!.
Un conseil: si tu as peur de t'embrouiller, prends la formule donnée comme hypothèse de récurrence, et calcule In+1, ce qui la validera.
D'accord
En refaisant le calcul tranquillement, j'ai pu retrouver ça :
I_ n = ln ^n(2) - n!/(n-1)!.ln^(n-1)(2)+ n!/(n-2).ln^(n-2)(2)+...+(ou -) n!/(n-n)!ln^(n-n)I_0
C'est parce qu'on ne connait pas la parité de n qu'on écrit la somme pour k a n-1 + (-1)^n.n!I_0 ?!
A part ça tout est plus clair, merci beaucoup !
Arctan
De toute façon on est obligé d'arrêter la somme avant l'apparition de I0. Le (-1)n dépend en effet de la parité.
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