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J ai besoin d aide, Svp, c es important

Posté par tipiou81986 (invité) 08-04-05 à 16:20

Bonjour à tous,
voilà j'ai des exos à faire pour lundi mais je sais pas comment faire pour les expliquer, les démontrer.
Et la prof veut nous faire passer au tableau, alors aie aie aie...

Exo 1 :

Soit E,F et G trois ensembles, f une application de E dans F et g une application de F dans G.

a) Montrer que si f et g sont injectives (respectivement surjectives), il en est de même de g°f.

b) Montrer que si g°f est injective, il en est de même pour f. Peut on affirmer que g est injective ?

c) Montrer que si g°f est surjective, il en est de même pour g. Peut on affirmer que f est surjective ?

Exo 2 :

Soit E,F deux ensembles, f une application de E dans F et g une application de F dans E. Montrer que si f°g°f est bijective, il en est de même pour f et g.

Exo 3 :

Soit E,F deux ensembles, f et f' deux applications de E dans F et g une application de F dans E.

a) On suppose que f°g = f'°g et que g esr surjective. Montrer que f = f'.

b) On suppose que g°f = g°f' et que g est injective. Montrer que f = f'.

Voilà mes exos, ça m'énerve, je sais pas comment faire...
Si quelqu'un veut bien m'aider, ce serait génial...

Merci beaucoup d'avance
A+

Aurélie

Posté par
bonjourre : J ai besoin d aide, Svp, c es important 08-04-05 à 16:32

f injective : si x=y alors f(x)=f(y)

Dém :
si x=y alors f(x)=f(y) car f injective
          et g(f(x))=g(f(y)) car g est injective

On a donc si x=y alors gof(x)=gof(y) donc gof est injective


f de E dans F surjective : pour tout y de F, il existe x dans E tel que y=f(x)
si f de E dans F et g de F dans G sont surjectives alors gof est-elle surjective : soit y de G, exite-t-il x de E tel que y=gof(x)?

Bon courage !

Posté par
isisstruissre : J ai besoin d aide, Svp, c es important 08-04-05 à 16:46

Bonjour tipiou81986!

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q08 - Comment bien choisir un titre pour la création d'un message ?



Isis

Posté par tipiou81986 (invité)re : J ai besoin d aide, Svp, c es important 08-04-05 à 19:04

personne peu m'aider ??
Snif....

Posté par
isisstruissre : J ai besoin d aide, Svp, c es important 08-04-05 à 23:07

Bonjour tipiou81986!

Je commence par rappeller la définition d'une fonction f:E\rightarrow F injective, surjective et bijective.

f est dite injective si
x,y\in E\;f(x)=f(y)\Rightarrow x=y
Remarquer que par contraposition cette condition est équivalente à
x,y\in E\;x\neq y\Rightarrow f(x)\neq f(y)

f est dite surjective si
\forall y\in F\;\exists x\in E\;|\;f(x)=y
Autrement dit tout élément de F a une préimage dans E.

f est dite bijective si f est injective et surjective.

Exo 1 :

h=g\circ f:\array{E&\longrightarrow^f &G&\longrightarrow^g&F\\x&\longrightarrow&y&\longrightarrow&z}

a) Montrer que si f et g sont injectives (respectivement surjectives), il en est de même de g°f.

Idée: je prends x_1\neq x_2 dans E et j'aimerais voir que h(x_1)\neq h(x_2).

Comme f est injective on a y_1=f(x_1)\neq f(x_2)=y_2. Comme g est injective on a z_1=g(y_1)\neq g(y_2)=z_2. On a donc obtenu que x_1,x_2\in E\;x_1\neq x_2\Longrightarrow z_1=g\circ f (x_1)\neq g\circ f(x_2)=z_2. Donc h est aussi injective.

b) Montrer que si g°f est injective, il en est de même pour f. Peut on affirmer que g est injective ?
Par l'absurde supposons que h=g°f est injective et que f n'est pas injective. Il existe donc x_1,x_2\in E\; x_1\neq x_2\textrm{ et }f(x_1)=f(x_2). Mais alors g(f(x_1))=g(f(x_2)) et fog ne peut être injective, d'où contradiction.

Parcontre on ne peut rien dire à propos de l'injectivité de g. Par exemple:
\array{f:&\mathbb{R}_+&\longrightarrow&\mathbb{R}\\ &x&\longrightarrow&x\\} est injective, \array{g:&\mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R}\\ &x&\longrightarrow&x^2\\} n'est pas injective. Et pourtant \array{g\circ f:&\mathbb{R}_+&\longrightarrow&\mathbb{R}\\ &x&\longrightarrow&x^2\\} est bien injective.

c) Montrer que si g°f est surjective, il en est de même pour g. Peut on affirmer que f est surjective ?
g°f est surjective, donc pour tous les z\in G il existe x\in E avec g(f(x))=z. Donc pour tous les z on trouve un y\in F avec g(y)=z et f(x)=y. Donc g est bien surjective.

Parcontre on ne peut rien dire à propos de la surjectivité de f. Prends par xemple
\array{f:&\mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R}\\ &x&\longrightarrow&\sqrt{x}\\} qui n'est pas surjective (-1 n'a pas de préimage), \array{g:&\mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R}_+\\ &x&\longrightarrow&x\\} qui est bien surjective. Et pourtant \array{g\circ f:&\mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R}_+\\ &x&\longrightarrow&\sqrt{x}\\} est bien surjective.

Isis

Posté par
isisstruissre : J ai besoin d aide, Svp, c es important 09-04-05 à 09:21

Exo 2 :
\array{E&\longrightarrow^f&F&\longrightarrow^g&E&\longrightarrow^f&F\\ x_1&\longrightarrow&x_2&\longrightarrow&x_3&\longrightarrow&x_4\\}

Montrer que si f°g°f est bijective, il en est de même pour f et g.

f°g°f injective, donc par l'exercice (1b) f est injective.
f°g°f surjective, donc par l'exercice (1c) f est surjective.

f est donc bijective.

Tu peux voir que g est bijective en faisant le même raisonnement que j'ai fait au (1b) et (1c).

Isis

Posté par tipiou81986 (invité)re : J ai besoin d aide, Svp, c es important 10-04-05 à 16:06

coucou,
je ne comprends pas trop ton raisonnement, pourrais tu m'expliquer ?
Merci d'avance
A+

Posté par
isisstruissre : J ai besoin d aide, Svp, c es important 10-04-05 à 17:03

Ouf, lequel de raisonnement? C'est un long pour tout réexpliquer. Si tu dis où ça coince je veux bien expliquer.

Isis

Posté par tipiou81986 (invité)re : J ai besoin d aide, Svp, c es important 10-04-05 à 18:42

Et bien je bloque un peu sur l'exo 1 (y1=f(x1) différent de f(x2)=y2.......
Les démonstration ce n'est pas du tout mon truc !!!
merci A+
Aurélie

Posté par
isisstruissre : J ai besoin d aide, Svp, c es important 10-04-05 à 22:57

Tu parles du (1a)?

f est injective, donc par définition
x_1,x_2\in%20E\;x_1\neq%20x_2\Rightarrow%20f(x_1)\neq%20f(x_2)

Je nomme y1 l'image de x1 par f (donc y_1=f(x_1)). Je définis également y_2=f(x_2).
On a donc y_1,y_2\in F\;y_1\neq y_2.

Comme g est injective, et que y_1,y_2\in%20F\;y_1\neq%20y_2, on peut dire que g(y_1)\neq%20g(y_2).

On est partis de x1,x2 dans E (diférents), et on est arrivés à g(f(x1)) et g(f(x2)) dans G qui sont également différents. On peut dire donc que gof est injective.

J'ai trouvé une erreur dans mon message du 08/04/2005 à 23:07. J'ai échangé un "F" et un "G". Voici la partie en question corrigée:
h=g\circ%20f:\array{E&\longrightarrow^f%20&F&\longrightarrow^g&G\\x&\longrightarrow&y&\longrightarrow&z}

Isis


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