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j ai un problème complexe
soit f(z) = (2- iZbar)/(2+iZbar) application de C dans C
trouver module f(z) = 1
merci
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la FAQ du forum
votre niveau
sitesoit f(z) = (2- izbar)/(2+izbar) de c dans c
résoudre module f(z) = 1
Puis résoudre z^4 -2z^3-z²-2z+1 = 0
merci d'avance
*** message déplacé ***
J'aimerais la réponse de
soit f(z) = (2-izbar)/(2+izbar) de c dans c
résoudre dans c module f(z)= 1
puis
z^4-2z^3-z²-2z+1=0 résoudre dans c
merci d'avance!
*** message déplacé ***
soit f(z) = (2- izbar)/(2+izbar) de c dans c
résoudre module f(z) = 1
Puis résoudre z^4 -2z^3-z²-2z+1 = 0
merci d'avance
j'ai un concours à passer
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Si tu ne veux pas te mettre à dos les modérateurs, évite de poster deux fois la même question sur deux topics différents...
Pour voir que ||f(z)||=1 il suffit de calculer .
Isis
*** message déplacé ***
oui et après?
le développement ne m'est pas familié
*** message déplacé ***
) :
f(z) = (2- izbar)/(2+izbar)
z=x+iy
zbar = x-iy
i.zbar = y+ix
f(z) existe sauf si 2 + izbarre = 0
izbar = -2
i(x-iy) = -2
ix + y = -2
(x=0 et y=-2)
f(z) existe pour tout z sauf pour z = -2i (1)
f(z)=(2-y-ix)/(2+y+ix)
|f(z)| = |2-y-ix|/|2+y+ix| = 1
|2-y-ix|/|2+y+ix| = 1
|2-y-ix|²/|2+y+ix|² = 1² = 1
|2-y-ix|² = |2+y+ix|²
(2-y)²+x² = (2+y)²+x²
(2-y)² = (2+y)²
2-y = +/- (2+y)
a)
2-y = 2 + y -> y = 0 (quel que soit x)
b)
2-y = -2-y impossible.
-> L'ensemble des z qui convient est l'axe des réels.
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z^4 -2z^3-z²-2z+1 = 0
C'est une équation à coefficients palindromes.
(c'est à dire du type Az^4 - Bz³ - Cz² - Bz + A = 0
On peut alors procéder comme suit:
On voit que z = 0 n'est pas solution -> on divise les 2 membres par z².
z² - 2z - 1 - (2/z) + (1/z²) = 0 (1)
Puis poser X = z + (1/z)
X² = z² + 2 + (1/z²)
(1) ->
X² - 2X - 3 = 0
Equation du second degré qui donne: X = -1 et X=3 (avec V pour racine carrée).
a) X = -1
z + (1/z) = -1
z² + 1 = -z
z²+z+1 = 0
-> z = (-1/2) +/- i.(1/2).V3
b) X = 3
z + (1/z) = 3
z²+1=3z
z²-3z+1 = 0
-> z = (3 +/- V5)/2
Finalement, on a: S ={(-1/2) - i.(1/2).V3 ; (-1/2) + i.(1/2).V3 ; (3-V5)/2 ; (3+V5)/2}
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Sauf distraction. 
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