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Je lance un défi sur les suites

Posté par Kious (invité) 25-02-05 à 20:16

Bonsoir,
Quiconque trouvera ce problème sera grandement remercié.

Soit la suite fn(x)=-1+x+x²+...+x^n
Préciser suivant x tel que 0<x<1 et x différent de 1/2 la limite de fn(x).

Soit an un réél >0 tel que fn(an)=0
Donner la limite et la convergence de la suite an (qui est monotone decroissante).
    

Posté par
carrocelre : Je lance un défi sur les suites 25-02-05 à 22:23

Salut !

Pour la premiere question, j eproposerais lim fn(x)=1/(1-x)-2
(et ce a cause du DL de 1/(1-x) qui vaut 1+x+x²+....+x^n+x^nE(x) en 0)
Par contre je ne suis absolument pas sure de ma reponse...

A plus

Posté par
franzre : Je lance un défi sur les suites 26-02-05 à 10:09

Je suis d'accord avec carrocel
1/
f_n(x)=-2+\Bigsum_{i=0}^n x^i = -2+\frac {1-x^{n+1}}{1-x} = \frac {2x-1-x^{n+1}}{1-x}\;\;\relstack{\longrightarrow}{x \to \infty}\;\; \frac{2x-1}{1-x}

2/
f_n est dérivable sur ]0,1[
f^'_n(x)=\Bigsum_{i=1}^n i x^{i-1} \;>\;0\hspace{20}\forall x \in]0,1[

f_n est strictement croissante sur ]0,1[ et  (pour n\ge1)
\Large \array{c30|lc50cc50r |$ &0& &\alpha_n& &1\\ \hline f_n^'(x)& 1&+&|&+\\ \hline \relstack{\vspace{5} }{f_n(x)} & \mbox{\relstack{\vspace{15} }{-1}} & \mbox{\relstack{\vspace{10} }{\nearrow}} & \mbox{\relstack{\downarrow }{0}} & \nearrow &^{n-1} & \\ \vspace{5} \\}


f_n(\alpha_n)=0
\large f_{n+1}(\alpha_n)=f_n(\alpha_n)+\alpha_n^{n+1}=\alpha_n^{n+1}\;>\;0 = f_{n+1}(\alpha_{n+1})

Comme f_{n+1} est croissante \alpha_{n+1}<\alpha_n   la suite (\alpha_n)_{n\in \mathbb N} est décroissante et minorée par 0 donc converge.

D'une part
f_n\(\frac 1 2\) = \frac {2\,\frac 1 2\,-1-\(\frac 1 2\)^{n+1}}{1-\frac 1 2}=-\(\frac 1 2\)^n\;<\;0          donc \forall n \in {\mathbb N}\;\alpha_n>\frac 1 2 donc \red \lim_{n \to \infty}\(\alpha_n\)\ge \frac 1 2

D'autre part
\large \forall \varepsilon \in\]0,\frac 1 2[\;\; \lim_{n \to \infty}f_n\( \frac 1 2 + \varepsilon\) = \frac{2\(\frac 1 2 + \varepsilon\)-1}{1-\(\frac 1 2 + \varepsilon\)} = \frac {2 \varepsilon}{\frac 1 2 - \varepsilon}\;>\;0

donc \large \forall \varepsilon \in\]0,\frac 1 2[\;\; \exists n \in{\mathbb N}\;{\rm tel que}\; f_n\(\frac 1 2 + \varepsilon\)>0=f_n(\alpha_n)      \Longrightarrow\;\large \forall \varepsilon \in\]0,\frac 1 2[\;\; \exists n \in{\mathbb N}\;{\rm tel que}\; \frac 1 2 + \varepsilon>\alpha_n
comme la suite (\alpha_n)_{n\in \mathbb N} est décroissante          \blue \large \forall \varepsilon \in\]0,\frac 1 2[\;\; \; \lim_{n \to \infty}\alpha_n < \frac 1 2 + \varepsilon

               \Large\red\fbox{\; \lim_{n \to \infty}\alpha_n\;=\;\frac 1 2 \;}

Posté par Kious (invité)re : Je lance un défi sur les suites 26-02-05 à 12:57

Je ne sais comment te (vous) remercier très cher ami. Vous avez fait preuve d'une grande intelligence dont vous pouvez être grandement heureux. MERCI.

Posté par
franzre : Je lance un défi sur les suites 26-02-05 à 13:44

Ca fait toujours plaisir d'avoir un petit message pour dire que ma prose a été lue mais en l'occurence, je n'en attendais pas tant et ne m'attendais surtout pas à rire autant.
A bientôt sur .

Posté par Kious (invité)re : Je lance un défi sur les suites 27-02-05 à 14:25

Cette réponse ma permis de mener a bien le reste de mon dm (4 copies doubles !!!!!!!!!!) sauf....l'ultime question. Elle me paraissait simple a 1ere vue mais s'est avérée bien plus compliquée à résoudre après mûre reflexion, ensuite, je promets de ne plus jamais vous embeter cher(e)(s) ami(e)(s):

etudier la limite de la suite (2an)^(n+1) et trouver un equivalent simple de (an - l) quand  n ---> + l'infini.

Posté par
carrocelre : Je lance un défi sur les suites 27-02-05 à 18:21

Salut !

Essaie le th de D'Alembert (en calculant Un+1/Un)...
J'ai pas essaye !

Posté par LoLof (invité)re : Je lance un défi sur les suites 27-02-05 à 19:30

Il aurait peut-être fallu essayer avant de balancer n'importe quoi!

Sur ce, bonne journée Kamarade

Posté par Kious (invité)re : Je lance un défi sur les suites 27-02-05 à 19:35

Pourrais-tu développer cher ami? Cela pourrait être une idée interessante mais j'ai essayé pendant 40 minutes et je n'ai rien trouvé qui puisse resoudre ce problème. Ce serait dommage d'autant plus que ton idée n'est pas dénuée d'interêt.

Posté par
Tom_Pascal Webmasterre : Je lance un défi sur les suites 27-02-05 à 19:43

Tu t'amuses bien LoLof/Kious

Posté par Kious (invité)re : Je lance un défi sur les suites 27-02-05 à 19:46

Pardon?

Posté par
Tom_Pascal Webmasterre : Je lance un défi sur les suites 27-02-05 à 19:47

Bof rien... laisse tomber, je commence à avoir l'habitude...

Posté par
Anthonyre : Je lance un défi sur les suites 27-02-05 à 20:25

bas vous, les modo et webmaster, vous pour voir l'ip de l'envoyeur du message ?

pour détecter les multicompte ?




Posté par
carrocelre : Je lance un défi sur les suites 27-02-05 à 20:25

peut etre que c'est une betise mais au moins j'essaie d'etre positive contrairement a certains ! Si t'as rien de mieux a faire abstiens toi !

Posté par Jongleur (invité)re : Je lance un défi sur les suites 28-02-05 à 14:59

Bonjour,

quand tu parles du théorème d'Alembert, tu penses au théorème d'Alembert Gauss qui dit que tout polynôme de C[X] admet au moins une racine?

Posté par
carrocelre : Je lance un défi sur les suites 28-02-05 à 19:47

euh non pas du tt!

Je parle de celui qui a pour sujet les suites

Si la suite est de terme general UN
On calcule lim en + inf |Un+1/Un|
Si cette limite est superieure stricte a 1, la suite diverge, si elle est strictement inferieure a 1 elle converge...Si l vaut 1 on ne sait pas.

D'ailleurs ici, il me semble que cette lim vaut 1 dc on ne sait pas !

Posté par Jongleur (invité)re : Je lance un défi sur les suites 28-02-05 à 20:17

D'accord je connaissais pas ce théorème!

Je ne vois pas du tout comment faire, d'ailleurs dans l'énoncé quand il est fait référence de l, je me demande de quelle limite il s'agit:
-celle de la suite (2an)^(n+1)
-celle de an valant 1/2

amicalement!

Posté par
franzre : Je lance un défi sur les suites 28-02-05 à 20:46

Je reprends le 1/
f_n(x)=\frac {2x-1-x^{n+1}}{1-x}

f_n(\alpha_n)=0\;\Longrightarrow 2\alpha_n=1+ \alpha_n^{n+1}

Donc   \large(2\alpha_n)^{n+1}\;=\;\( 1+\alpha_n^{n+1} \)^{n+1} = e^{(n+1)\ln\( 1+\alpha_n^{n+1} \)}

Or    (n+1)\ln\( 1+\alpha_n^{n+1} \)\; \relstack {\sim}{n \to \infty} \; \frac n{2^{n+1}} \;\relstack {\longrightarrow }{n \to \infty} \; 0

Donc                     \red\large(2\alpha_n)^{n+1}\; \;\relstack {\longrightarrow }{n \to \infty} \; 1

Posté par
franzre : Je lance un défi sur les suites 28-02-05 à 20:52

Pour la fin du problème, je pense qu l'équivalent demandé est 2\alpha_n-1 qui d'après mon mail précédent vaut

                    \large \red 2\alpha_n-1= \alpha_n^{n+1}\;\relstack {\sim}{n \to \infty} \; \frac 1{2^{n+1}}

Posté par Jongleur (invité)re : Je lance un défi sur les suites 28-02-05 à 21:26

J'avais en effet remarqué la relation avec 2an et ann+1 mais je n'avais pas penser à passer à l'exponentielle : bien vu!

Bravo

Posté par
franzre : Je lance un défi sur les suites 28-02-05 à 21:52

Merci


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