Bonjour Doe

Qu'as tu trouvé pour le noyau et l'image ?

Kaiser

Bonjour kaiser!

D'après la déf. Ker (g) = {x<E \ g(x)=0}
Donc on peut écrire que g(f)=0 -> f+f'=0...

Bonjour

c'est etrange...



soit h quelconque C infinit, on cherche a trouver une solution de

h=g(f)

h = f+f'

on pose f(x) = exp(-x)*g(x)

sa nous done g'(x) = h(x)*exp(x)

h*exp(x) est continu, donc integrable, donc admmet une primitives H, donc h est atteintes par H*exp(-x)

donc l'application est un endomorphisme surjectif, donc la question de savoir si l'image et le noyaux sont suplaimentaire na pas vraiment de sens ?????

je me trompe ?

Oui, mais encore !
Que vaut f dans ce cas ?

sinon pour le noyaux, et bien f'+f = 0 normalement tu sais le ressoudre sa non ?

Tiens c'est vrai ça !
Ksilver vient de soulever un détail qui a son importance !

pourquoi on pose f(x) = exp(-x)*g(x) ?

on peut pas trouver que la fonction est lineaire (endomorphisme) en utilisant simplement que g(f)= f+f' ?

Ksilver

et pour l'image on a f+f'=x On fait comment après ?

non ce que je faisait c'etait de montrer que la fonction etait surjective,

pour sa je prend une fonction h quelconque, et je montre que h est atteinte par g en resolvant l'equation f(x) +f'(x) = h(x)

la ou j'ai pas fait attention c'est que j'ai appele ma fonction auxiliaire g alors que le nom etait deja pris ... il faut la noter autrement



et je pose f(x) = exp(-x)*g(x), (mais g, ce n'est pas l'endomorphisme, c'est une application C infinit quelconque...)  parceque c'est la methode standart (dite de la variation de la constante) pour trouver la solution particuliere d'une equation differentielle du 1er degrée.

aaa oui
C'est stupide mais j'ai pas eu l'idée de le fait comme une équation differentielle.

ok je vais voir. Merci beaucoup !!!

Bon voila la récap.

g(f(x))=f(x)+f'(x)

- Ker g(f(x))={f(x)<E \ g(f(x))=0)}

g(f(x))=0 Donc f'(x)+f(x)=0

-> f(x)=exp(-x)k


- Im g(f(x))={h(x)<E \ g(f(x))=h(x)}

g(f(x))=h(x) Donc f'(x)+f(x)=h(x)

ESSM : f'(x)+f(x)=0

-> f(x)=exp(-x)k

EASM : f'(x)+f(x)=h(x)

-> f(x)=exp(-x)k(x)
f'(x)= -exp(-x)k(x) + exp(-x)k'(x)

f(x)= [-exp(-x)k(x) + exp(-x)k'(x)] + [exp(-x)k(x)] = h(x)

Donc exp(-x)k'(x) = h(x) -> k'(x) = h(x)exp(x)

k(x) = integrale(h(x)exp(x))

Donc f(x) = exp(-x)*integrale(h(x)exp(x))

Bon après il faut faire le raisonnement mais ce que j'ai pas compris, pourquoi on montre pas que c'est un endomorphisme avant meme qu'on trouve Ker et Im.

si bien sur il faut montrer que c'est un endomorphisme avant de parler de Ker et Im.

mais ici c'est evident :

la derivation est un endomorphisme, donc g = D + Id (ou D est la derivation et Id l'identité est un endomophisme)

si sa ne te convaint pas, tu peut aussi utiliser verifier que g(f+l*h) = g(f) +l*g(h).


d'ailleur en theorie il faudrait aussi verifié que l'ensemble des fonction Coo est un espace vectorielle avant de parler d'endomorphisme dedans (mais la sa va vraiment etre superflu)

Bon, tout est fait.
Ksilver, kaiser je vous remercie de votre aide! J'aurais encore besoin de vous mais ca sera dans un autre topic...