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joli résultat sur les limites d'intégrales

Posté par
fusionfroide 10-01-07 à 18:18

Salut

Pour la beauté des maths :

Soit 4$f \in L^2(\mathbb{R_+},\mathbb{C}), alors \fbox{4$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_0^x f(t)dt=0}

Joli non ?

Je n'ai pas la preuve

A+

Posté par
stokastikre : joli résultat sur les limites d'intégrales 10-01-07 à 19:24


Pas mal. Avec un epsilon en plus dans l'inégalité de Cauchy-Scharz on le démontrerait.

Posté par
Cauchyre : joli résultat sur les limites d'intégrales 10-01-07 à 20:20

Salut,

ca doit passer avec  Cauchy -Schwarz en repassant par les epsilon.

Posté par
fusionfroidere : intégrale 10-01-07 à 22:07

Dans le même genre :

Soit 4$f intégrable de 4$\mathbb{R_+} dans 4$\mathbb{C}, alors \fbox{4$\int_0^x tf(t)dt=o(x)} au voisinage de 4$+\infty

*** message déplacé ***

Posté par
kaiser Moderateurre : joli résultat sur les limites d'intégrales 10-01-07 à 22:27

Salut fusionfroide !

Il me semble effectivement que la preuve du premier exo fait intervenir des epsilon.

Kaiser

Posté par
Cauchyre : joli résultat sur les limites d'intégrales 11-01-07 à 23:25

Dans le deuxieme aussi faut cauchy-schwarziser non?

Posté par
Cauchyre : joli résultat sur les limites d'intégrales 11-01-07 à 23:54

Bon on y va:

3$\int_{0}^{x}tf(t)dt=\int_{0}^{x}t\sqr{f(t)}\sqr{f(t)}dt \leq (\int_{0}^{x}t^{2}f(t)dt)^{\frac{1}{2}}(\int_{0}^{x}f(t)dt)^{\frac{1}{2}}\leq (x^{2}\int_{0}^{x}f(t))^{\frac{1}{2}} ||f||_{1}\leq x C bon bien la aussi faut utiliser les epsilon pour s'en sortir j'ai l'impression.

Posté par
kaiser Moderateurre : joli résultat sur les limites d'intégrales 12-01-07 à 00:06

Re Cauchy

Je crois avoir trouvé :

Fixons \Large{\varepsilon>0}

Alors, il existe A >0 tel que pour y supérieur à A, \Large{\|\bigint_{y}^{+\infty}f(t)dt\|\leq \frac{\varepsilon}{2}}

Soit donc x supérieur à A, alors :

\Large{\|\bigint_{0}^{x}tf(t)dt\|\leq \|\bigint_{0}^{A}tf(t)dt\|+\|\bigint_{A}^{x}tf(t)dt\|}

Je m'occupe de d'abord du deuxième terme :

\Large{\|\bigint_{A}^{x}tf(t)dt\|\leq x\bigint_{A}^{x}|f(t)|dt\leq x\bigint_{A}^{+\infty}|f(t)|dt\leq x \frac{\varepsilon}{2}}

Finalement, on a pour tout x supérieur à A :

\Large{\frac{1}{x}\|\bigint_{0}^{x}tf(t)dt\|\leq \frac{\varepsilon}{2} + \frac{1}{x}\|\bigint_{0}^{A}tf(t)dt\|}

Ensuite, on choisit B>0 tel que pour tout x supérieur à B, le deuxième terme soit inférieur à \Large{\frac{\varepsilon}{2}}.

Ainsi, pour tout x supérieur à C=max(A,B), on :

\Large{\frac{1}{x}\|\bigint_{0}^{x}tf(t)dt\|\leq \varepsilon}

D'où le résultat.

Kaiser

Posté par
Cauchyre : joli résultat sur les limites d'intégrales 12-01-07 à 00:13

Tu peux enlever les modules il etait supposé f positive.

Meme pas besoin de C-S en fait, pour le premier j'ai fait un truc dans le meme style que ca mais en utilisant Cauchy-Schwarz en coupant en 2 bouts je poste ou pas(flemme ).

Posté par
kaiser Moderateurre : joli résultat sur les limites d'intégrales 12-01-07 à 00:16

Citation :
Tu peux enlever les modules il etait supposé f positive.


Elle est définie sur les réels positifs mais est bien à valeurs complexes.

Citation :
je poste ou pas


C'est toi qui voit !

Kaiser

Posté par
Cauchyre : joli résultat sur les limites d'intégrales 12-01-07 à 00:30

Bon aller quand meme un peu de copier coller:

Soit \Large{\varepsilon%3E0}

Alors, il existe 3$x_0>0 tel que pour y supérieur à 3$x_0,

\Large{\|\bigint_{y}^{+\infty}f^{2}(t)dt\|\leq%20\frac{{\eps}^{2}}{4}

Soit donc x supérieur à 3$x_0, alors :

\Large{\|\bigint_{0}^{x}f(t)dt\|\leq%20\|\bigint_{0}^{x_0}f(t)dt\|+\|\bigint_{x_0}^{x}f(t)dt\|}

On s'occupe du second membre:

3$\Large{\|\bigint_{x_0}^{x}f(t)dt\|\leq \sqr{x-x_0}(\bigint_{x_0}^{x}f^{2}(t)dt)^{\frac{1}{2}}\leq \frac{\eps}{2} \sqr{x-x_0}\leq \frac{\eps}{2} \sqr{x}


Maintenant on choisit 3$B>0 tel que pour tout x supérieur à B,

\Large{\bigint_{0}^{x_0}f(t)dt \leq \frac{\eps}{2} \sqr{x}}

On a finalement pour x supérieur à max(A,B):

\Large{\frac{1}{\sqr{x}}\bigint_{0}^{x} f(t)dt \leq \eps


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