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Juste une petite question

Posté par tiboooooo (invité) 17-09-05 à 22:58

bonjour a tous le monde,

voila je suis bloqué juste sur une question d' un exo

je sais que la forme trigonometrique de    1 + i      
                                                    z=----------
                                                    (3) - i


est (2) ( cos 5 + i sin 5)
         ---        ----       ----
          2          12         12


et on me demande, Determiner les entiers naturel n,non nuls tels que z puissance n soit reel.Puis Soit p la plus petite valeur possible de ces entiers.Calculer z puissance p.

Voila ! merci d avance a tout le monde si vous pouviez me filer un petit coup de main se serai gentil

Posté par
dad97 Correcteur
re : Juste une petite question 17-09-05 à 23:26

Bonsoir tiboooooo,

la forme trigonométrique de ton complexe est 5$\rm z=\frac{sqrt{2}}{2}e^{\frac{5i\pi}{12}}

d'où 5$\rm z^n=(\frac{sqrt{2}}{2})^ne^{\frac{5in\pi}{12}}

z^n\in\mathbb{R} \Longleftrightarrow \frac{5n\pi}{12}=\pi[\pi] \Longleftrightarrow \frac{5n}{12}=1[1] \Longleftrightarrow n= \frac{12}{5}[\frac{12}{5}]

comme n doit être entier on en déduit que n\in 12\mathbb{Z}\{0}

le plus petit entier étant 12, z^{12}=-(\frac{\sqrt{2}}{2})^{12}=-\frac{1}{64}

Salut



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