Ne peut-on pas écrire que ?

A +

Parfaitement... Et si je ne me trompe pas est bien de classe non ?

Oui, mais pourquoi ?

Hint: Remarquer que . Raisonner par récurrence ?

A +

sinon, et est analytique sur donc elle est infiniment dérivable sur donc l'est aussi ! Ainsi, tu as un produit de fonction indéfiniment dérivable, donc ta fonction est indéfiniment dérivable !!

Au vu du DM et de ce qu'on fait en ce moment je ne pense pas que ce soit la récurrence qu'il faille faire comme démarche. Merci tout de même

Concernant le fait que la fonction arctan est analytique, qu'es-ce que ça veut dire exactement ?

Merci encore

ta fonction est un produit tu utilise la formule de leibnitz pour calculer ses dérivés successives et tu montre que c'est une somme de fonction qui sont toutes derivables et donc que ta fonction est derivable, si ta fonction est Cp quelque soit p je pense qu'elle est c infini cependant je me suis déjà demandé si on pouvait dire ca "moralement" pour la fonction exp(1/x) en 0 est elle c infini mais si tu admets qu'une fonction qui est Cp quelque soit p est C infini ca devrait être bon (en gros tu dit que ta fonction est produit de 2 fonctions C infini et donc qu'elle est C infini via leibnitz) bon c'est ce que j'en pense maintenant a toi de voir si ta morale te dit NON a cette insertion;

Ok je vais voir ! Je peux peut-être dire tout simplement que 1/1+t² est C infini car on l'a vue plusieurs fois.. Je n'ai peut être pas besoin de préciser pour celle là !

Merci beaucoup et bonne soirée

Et si tu disais que si u : * est C alors 1/u l'est aussi (composée de f par h : * , t 1/t qui sont toutes les 2  C )

Ah pas mal votre raisonnement ! Mais le prof nous exige de donner la dérivée n-ième de g (je suis désolé de ne pas l'avoir dit avant ) en 0. Du coup on doit passer par le DSE de g. Du coup en montrant que g est développable en série entière on montre ainsi que g est de C infini sur un certain intervalle.
Là je bloque un peu parce que le rayon de convergence de arctan(x) est ]-1,1[ si je me trompe alors qu'on veut que g soit de classe C infini sur R tout entier

désolé je me suis trompé de topic autant pour moi

Bonsoir !
Que ton produit soit s'obtient par la possibilité de dérivation d'un produit.
Le calcul de la dérivée en 0 peut se faire par la recherche des coefficients de la série entière produit, développement valable sur . Jusqu'à nouvel ordre 0 est un point de cet intervalle.

Puisque " le prof  exige de donner la dérivée n-ième de f " on peut remarquer que pour tout réel t on a :   2if(t) = (1/(t - i) - 1/(t + i))e^t  .

Pour avoir une expression de Dⁿf(t) il suffit donc d'en avoir une pour  les dérivées de  t e^t/(t + i) et  même de  h : t 1/(t + i) .
Comme pour n *     on a : Dⁿh(t)  : t (-1)ⁿ/(t + i)ⁿ⁺¹   .... on obtient une formule  pour  Dⁿf(t)

Franchement, je trouve  que l'on marche sur la tête. La question est simple, la réponse immédiate grâce à la formule de Leibniz, mais il faut une réponse compliquée "parce que le professeur l'exige"!
Si la question du professeur est avérée et bien qu'il change sa question!

jb2017
Tu as un formule explicite pour D^k(1/(1 + X²))  qui permette de ne plus marche r sur la tête ?

etniopal,
Visiblement tu as dû mal à comprendre ma remarque.
La question est : "montrer que la fonction est de classe C^\infty" (et c'est tout.)
Il s'avère que la fonction est évidement de classe  "C^\infty"  (puisque quotient de 2 fonctions "C^\infty" dont le dénominateur ne s'annule pas. ) Ceci est une propriété
bien connue et facile à démontrer via la formule de Leibniz. De plus on peut la trouver partout.

Si le but de la question est autre (du point de vue pédagogie) alors que la question soit reformulée pour atteindre son but.

Quand le prof  "   exige de donner la dérivée n-ième de g " , ce que tuxedo95  nous dit , je pense  qu'il réclame une espèce de formule  explicite .
On peut penser , bien sûr , que c'est un affreux vicelard !

pas du tout, mais il faut poser la bonne question.
C'est très facile de dériver n fois la fonction

On trouve que

pas du tout, mais il faut poser la bonne question.
C'est très facile de dériver n fois la fonction

On trouve que

Bonjour !
@ etniopal et jb2017
Moi j'ai lu qu'il demande la dérivée en 0 : un produit de séries donne cette valeur.
Sauf erreur,

Et si i alexyuc n'a pas vu les séries ?