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justifier un encadrement

Posté par
aya4545
26-09-22 à 17:38

bonjour
incapable de montrer la deuxième inégalité prière m orienter pour dépasser ce blocage

Soit f une fonction convexe de classe C^1 sur [a, b]. Montrer que (b -a)f(\frac {a+b}{2})\leq  \int_a^b f(t)dt\leq (b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}

on sait que le graphe de toute fonction convexe est au-dessus de ses tangentes.  en particulier au point d abscisse \frac{a+b}{2} l équation de la tangente est : y=f'(\frac{a+b}2)(t-\frac{a+b}2)+f(\frac{a+b}2)\leq f(t)
en intégrant l inégalité précédente entre a et b on obtient

\int_a^bf'(\frac{a+b}2)(t-\frac{a+b}2)dt +\int_a^bf(\frac{a+b}2) dt \leq \int_a^bf(t)dt \implies   f'(\frac{a+b}2) \int_a^b(t-\frac{a+b}2)dt +f(\frac{a+b}2)\int_a^b dt \leq \int_a^bf(t)dt  

ona  \int_a^b(t-\frac{a+b}2)dt=[\frac {t²}2 -\frac{(a+b)}2 t]_a^b=0 donc (b -a)f(\frac {a+b}{2})\leq  \int_a^b f(t)dt je nai aucune idée pour justifier l autre inégalité et merci

Posté par
larrech
re : justifier un encadrement 26-09-22 à 17:53

Bonjour,

Utilise l'inégalité de convexité : le graphe de f est en dessous de la corde AB.

Posté par
larrech
re : justifier un encadrement 26-09-22 à 17:57

Inégalité à écrire pour le point courant de l'arc AB, bien entendu.

Posté par
carpediem
re : justifier un encadrement 26-09-22 à 17:57

salut

\int_a^b f(t)dt\leq (b-a)\dfrac{f(a)+f(b)}{2} \iff \int_a^b \left[\dfrac {f(a) + f(b)} 2 - f(t) \right] dt \ge 0

il suffit de prouver la positivité du crochet sachant que f est convexe ...

Posté par
aya4545
re : justifier un encadrement 26-09-22 à 18:25

L équation de la corde  (AB) est donc
y= \frac {f(b)-f(a)}{b-a} t+(f(a)- \frac {f(b)-f(a)}{b-a}.a)\geq f(t)
sur [ab]
en intégrant entre a et b  on obtient
\frac {f(b)-f(a)}{b-a} \int _a ^b tdt -\frac {f(b)-f(a)}{b-a}.a\int_a^b dt \geq \int _a^b f(t)dt
donc (b-a)[\frac {f(b)-f(a)}{b-a}\frac{a+b}2+f(a)-\frac {f(b)-f(a)}{b-a}.a]\geq \int_a^b f(t)dt
il suffit donc de verifier que [\frac {f(b)-f(a)}{b-a}\frac{a+b}2+f(a)-\frac {f(b)-f(a)}{b-a}.a] =\frac {f(a)+f(b)}2 merci larrech je vais voir la piste de carpediem

Posté par
carpediem
re : justifier un encadrement 26-09-22 à 18:34

il est plus simple d'écrire y= f(a) + \dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}(t - a) pour l'équation de la corde


PS : dfrac permet de faire une plus grande fraction


mon idée est un peu la même que larrech ...

Posté par
larrech
re : justifier un encadrement 26-09-22 à 18:43

Oui, mais il y a moyen de faire un peu moins lourd.

f(ta+(1-t)b)\leq tf(a)+(1-t)f(b), t variant de 0 à 1.

et l'on intègre de 0 à 1 en faisant à gauche le changement de variable u=ta+(1-t)b

Posté par
aya4545
re : justifier un encadrement 26-09-22 à 18:47

f convexe sur [ab] si pour tout t de [01]  et tout x ; yde [ab]
f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)


dans ce cas on prend t=1/2 et on a le résultat merci carpediem

Posté par
aya4545
re : justifier un encadrement 26-09-22 à 18:49

oui c est exact lerrech je vais verifier

Posté par
aya4545
re : justifier un encadrement 26-09-22 à 19:00

aya4545 @ 26-09-2022 à 18:47

f convexe sur [ab] si pour tout t de [01]  et tout x ; yde [ab]
f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)


dans ce cas on prend t=1/2 et on a le résultat merci carpediem
  et x=y

Posté par
aya4545
re : justifier un encadrement 26-09-22 à 19:16

je trouve des problèmes au niveau des bornes  en utilisant votre piste larrech

larrech @ 26-09-2022 à 18:43

Oui, mais il y a moyen de faire un peu moins lourd.

f(ta+(1-t)b)\leq tf(a)+(1-t)f(b), t variant de 0 à 1.

et l'on intègre de 0 à 1 en faisant à gauche le changement de variable u=ta+(1-t)b

Posté par
larrech
re : justifier un encadrement 26-09-22 à 19:22

t varie de 0 à 1 et u de b à a. A gauche on intègre par rapport à u, à droite, par rapport à t.

Posté par
aya4545
re : justifier un encadrement 26-09-22 à 20:09


larrech @ 26-09-2022 à 19:22

. A gauche on intègre par rapport à u, à droite, par rapport à t.
  chose que j ignorai  ce que je savais c est que la variable dans les deux membres doit être la même ce qui m a posée un problème dans les bornes . l idée de carpediem etait encore  bonne

encore une fois merci a vous deux

Posté par
larrech
re : justifier un encadrement 26-09-22 à 21:22

Pou être plus clair. On intègre par rapport à t, mais dans l'intégrale à gauche du signe , on fait le changement de variable u=ta+(1-t)b.

A une autre fois peut-être, aya4545

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : justifier un encadrement 27-09-22 à 02:31

Bonsoir


si on veut utiliser l'hypothèse \mathcal C^1 on pourra étudier les variations sur [a,b] des deux fonctions :
\Large\boxed{g:x\mapsto\int_a^xf(t)dt-(x-a)f\left(\frac{x+a}{2}\right)~;~h:x\mapsto(x-a)\frac{f(x)+f(a)}{2}-\int_a^xf(t)dt}

Posté par
aya4545
re : justifier un encadrement 27-09-22 à 12:44

bonjour
merci elhor_abdelali
facile de montrer que g continue et même dérivable sur [a;b] (produit composé et somme de fonctions derivables)
pour tout x de [a,b]
g'(x)=f(x)-f(\frac{x+a}2)(1-\frac 12(x-a)) je ne peux mlus avancer

Posté par
aya4545
re : justifier un encadrement 27-09-22 à 14:12

g(b)=\int_a^bf(t)dt-(b-a)f\left(\frac{b+a}{2}\right)
je dois donc montrer que g(b)\leq 0

Posté par
aya4545
re : justifier un encadrement 27-09-22 à 14:18

g'(x)=f(x)-f(\frac{x+a}2)+\frac 12 (x-a)f'(\frac{x+a}2)
g'(a)=0

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : justifier un encadrement 27-09-22 à 19:12

il te suffit de remarquer que les dérivées de g et h sur [a,b] s'écrivent successivement :

\large \boxed{g'(x)=f(x)-\left[f'\left(\frac{x+a}{2}\right)\left(x-\frac{x+a}{2}\right)+f\left(\frac{x+a}{2}\right)\right]~~;~~h'(x)=\dfrac{1}{2}\left(f\left(a\right)-\left[f'(x)(a-x)+f(x)\right]\right)}


puis utiliser ton argument :

Citation :
on sait que le graphe de toute fonction convexe est au-dessus de ses tangentes


pour déduire le signe de ces dérivées je te laisse conclure

Posté par
aya4545
re : justifier un encadrement 27-09-22 à 23:42


( x\in \left[a,b\right ]\implies \frac{x+a}{2} \in \left[a,b\right ] )

 \\ 
 \\ y=f'\left(\frac{x+a}{2}\right)\left(x-\frac{x+a}{2}\right)+f\left(\frac{x+a}{2}\right)\right est l equation de la tangente  à C_f au point d abscisse \frac{x+a}2 et puisque  f est convexe  sur [a,b]  donc  


g'(x)=f(x)-\frac{x+a}{2}\right)\left(x-\frac{x+a}{2}\right)+f\left(\frac{x+a}{2})\geq 0 et par suite g est croissante sur [a,b] b\geq a\implies g(b)\geq g(a) =0 d ou le resultat
merci elhor_abdelali

Posté par
aya4545
re : justifier un encadrement 27-09-22 à 23:44

je  m excuse
g'(x)=f(x)-f'(\frac{x+a}{2}\right))\left(x-\frac{x+a}{2}\right)+f\left(\frac{x+a}{2})\geq 0

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : justifier un encadrement 28-09-22 à 00:16

C'est un plaisir aya4545



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