Niveau Prepa (autre)

justifier une inégalité

Posté par
aya4545 23-09-22 à 13:48

bojour
incapable de terminer cet exercice prière m orienter et merci
Soient x1, x2, . . . , xn et y1, y2 . . . yn des réels strictement positifs tels que
x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn et y1 ≤ y2 ≤ · · · ≤ yn. Montrer que
$\frac 1 n (\sum _{i=1}^{i=n}  x_i). (\sum _{i=1}^{i=n}   y_i)\leq  (\sum _{i=1}^{i=n} x_iyi)$
indication considérer $(\sum _{ 1\leq i ;j\leq n} (x_i-xj)(y_i-y_j))$

ona $\sum _{ 1\leq i ;j\leq n} (x_i-xj)(y_i-y_j)=\sum _{ 1\leq i <j\leq n} (x_i-xj)(y_i-y_j)+\sum _{ 1\leq j<i\leq n} (x_i-xj)(y_i-y_j) +0>0$

d autr part   $\sum _{ 1\leq i ;j\leq n} (x_i-xj)(y_i-y_j)=\sum _{ 1=i }^{n=i} \sum _{j=i}^{j=n} (x_i-xj)(y_i-y_j)+\sum _{ i=1}^{ n} \sum _{j=1}^{i}(x_i-xj)(y_i-y_j)$
et apres je suis perdue est ce que ja vais developer $(x_i-xj)(y_i-y_j)$ ...  et merci

Posté par re : justifier une inégalité 23-09-22 à 14:02

On considère S_ij(x_i-x_j)(y_i-y_j)
On peut faire un premier calcul comme tu l'as fait.
Puis dire :
Pour tout i et tout j, (x_i-x_j)(y_i-y_j)=x_iy_i-x_iy_j-x_jy_i+x_jy_j
Donc

S_ij(x_i-x_j)(y_i-y_j)=S_ij(x_iy_i) -S_ij(x_iy_j)-S_ij(x_jy_i)+S_ij(x_jy_j)
Et continuer.
Je ne sais pas où ça nous emmène, mais probablement au résultat.

Posté par re : justifier une inégalité 23-09-22 à 14:22

Bonjour,

Tu peux regarder ici : Inegalités en particulier 15h47.

Posté par re : justifier une inégalité 23-09-22 à 14:48

merci lake mercity59847 et bonne journée

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