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justifier une inégalité

Posté par
aya4545 06-10-22 à 00:23

bonsoir
prière m orienter pour terminer cet exercice
montrer qu' a  partir d un certain rang
\dfrac {2^{2n-1}}{n}\leq   C_{2n}^{n}\leq 2^{2n-1}

pour la deuxième inégalité

j ai remarqué que (2n)!=2^n \times n!\times(2n-1)(2n-3)...\times3
et \dfrac {2n-k}{2} \leq n-k+1 \forall  k \in [1;n]  et \forall n \in \N
par passage au produit on a la 2 eme inegalité
je bloque sur la premiere et merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : justifier une inégalité 06-10-22 à 02:08

Bonsoir


une façon de faire :


Pour tout entier naturel non nul k on montre assez facilement que \Large\boxed{\frac{C_{2k+2}^{k+1}}{C_{2k}^k}=4\frac{k+\frac{1}{2}}{k+1}}


et donc \Large\boxed{4\frac{k}{k+1}~<~\frac{C_{2k+2}^{k+1}}{C_{2k}^k}~<~4}.



Ainsi pour tout entier n\geqslant2 on a \Large\boxed{\prod_{k=1}^{n-1}4\frac{k}{k+1}~<~\prod_{k=1}^{n-1}\frac{C_{2k+2}^{k+1}}{C_{2k}^k}~<~\prod_{k=1}^{n-1}4} ... sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
carpediemre : justifier une inégalité 06-10-22 à 09:41

salut

montrer par récurrence qu' a  partir d un certain rang   P(n)  :  \dfrac {2^{2n - 1}} n\le   C_{2n}^n \le 2^{2n - 1} signifie que P(n) est héréditaire ...

C_{2(n + 1)}^{n + 1} = \dfrac {(2n + 2)!} {[n + 1)!]^2} = \dfrac {2(2n + 1)} {n + 1} C_{2n}^n

donc d'après l'hypothèse de récurrence :

\dfrac {2(2n + 1)} {n + 1} \dfrac {2^{2n - 1}} n \le C_{2(n + 1)}^{n + 1} \le \dfrac {2(2n + 1)} {n + 1} 2^{2n - 1}

or 2n + 1 = 2 \times n + 1  pour l'inégalité de gauche
et 2n + 1 = 2(n + 1) - 1  pour l'inégalité de droite

donc c'est fini ...

Posté par
aya4545re : justifier une inégalité 06-10-22 à 11:46

bonjour
merci elhor_abdelali  merci   carpediem

carpediem @ 06-10-2022 à 09:41

salut

montrer par récurrence qu' a  partir d un certain rang   P(n)  :  \dfrac {2^{2n - 1}} n\le   C_{2n}^n \le 2^{2n - 1} signifie que P(n) est héréditaire ...

C_{2(n + 1)}^{n + 1} = \dfrac {(2n + 2)!} {[n + 1)!]^2} = \dfrac {2(2n + 1)} {n + 1} C_{2n}^n

donc d'après l'hypothèse de récurrence :

\dfrac {2(2n + 1)} {n + 1} \dfrac {2^{2n - 1}} n \le C_{2(n + 1)}^{n + 1} \le \dfrac {2(2n + 1)} {n + 1} 2^{2n - 1}

or 2n + 1 = 2 \times n + 1  pour l'inégalité de gauche
et 2n + 1 = 2(n + 1) - 1  pour l'inégalité de droite

donc c'est fini ...


mais  on peut trouver des propriétés  qui sont héréditaires mais qui ne sont jamais initialisales

P(n) : " 3 ^{2n} -2^{n -2} est un multiple de 7 "
est héréditaire,  mais  jamais initialisable.
3 ^{2(n+1)} -2^{n+1 -2}=3 ^{2n+2} -2^{n -1}=3^2(3 ^{2n} -2^{n -2})+2^{n -2}\times 7   et merci

Posté par
aya4545re : justifier une inégalité 06-10-22 à 11:50

elhor_abdelali pouvez vous m expliquer l idée de la démonstration  et merci

Posté par
lakere : justifier une inégalité 06-10-22 à 16:30

Bonjour,

Si tu es d'accord avec le dernier encadré d'ehlor_abdelali, il suffit de calculer les 3 produits. Ils sont télescopiques.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : justifier une inégalité 06-10-22 à 18:13

Merci lake

Posté par
aya4545re : justifier une inégalité 06-10-22 à 18:56

merci elhor_abdelali merci lake  merci carpediem et bonne journée

Posté par
carpediemre : justifier une inégalité 06-10-22 à 19:32

aya4545 @ 06-10-2022 à 11:46

mais  on peut trouver des propriétés  qui sont héréditaires mais qui ne sont jamais initialisables
certes mais ici on te dit que c'est vrai à partir d'un certain rang donc l'hérédité suffit à prouver sa véracité ... à partir d'un certain rang ... même si tu n'arrives pas à déterminer ce rang !!

Posté par
aya4545re : justifier une inégalité 06-10-22 à 21:13

merci carpediem

Posté par
carpediemre : justifier une inégalité 07-10-22 à 00:00

de rien


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