Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a

Posté par
mikayaou 13-02-07 à 01:02

bonjour/soir kaiser

je sèche sur l'intégrale de f(x^p+x^-p)lnx/x pour x variant de 1/a à a

je sentirais bien des changements de variables en fonctions hyperboliques...
mais n'ai pas le courage de l'entreprendre si c'est une impasse

peux-tu donner qques indices sur les changements de variables à entreprendre, voire sur la nature des IPP à retenir ?

merci


au fait, est-ce qu'un(e) Tle peut, normalement, la traiter ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 13-02-07 à 01:07

re mikayaou

Citation :
au fait, est-ce qu'un(e) Tle peut, normalement, la traiter ?


À l'origine, j'avais proposé cet exercice à Kévin pour qu'il s'exerce au changement de variable donc a priori ce n'est pas du niveau terminale, toutefois le théorème du changement de variable est abordable (du moins cette version).

Citation :
je sentirais bien des changements de variables en fonctions hyperboliques...


Pas du tout !

Citation :
peux-tu donner qques indices sur les changements de variables à entreprendre, voire sur la nature des IPP à retenir ?


Pas d'IPP, uniquement un ou des changements de variables.
indice : ne vois-tu pas une sorte de symétrie dans l'intégrale ?

Kaiser

Posté par
Roulianere : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 13-02-07 à 01:11

Je pense avoir fait une erreur de calcul, mais je trouve 0, c'est ça Kaiser ?( ça me parait un peu trop "facile" )

Posté par
kaiser Moderateurre : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 13-02-07 à 01:13

Rouliane> et pourtant !

Kaiser

Posté par
infophilere : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 13-02-07 à 01:13

Bonsoir

Moi je vois la sorte de symétrie mais après ... et ben après je vais dormir

Bonne nuit

Posté par
kaiser Moderateurre : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 13-02-07 à 01:15

Bonne nuit Kévin !

Kaiser

Posté par
mikayaoure : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 13-02-07 à 01:16

oui cette symétrie se retrouve également (et surtout) dans les bornes où je voyais des termes en x et 1/x
,
que l'on retrouve aussi dans l'argument de f

ainsi, en posant X=1/x, on arrive à dissocier l'intégrale en deux intégrales

Somme(1/a à 1) + Somme(1 à a)

puis en posant X=1/x, on arrive à montrer que Somme(1/a à 1) = -Somme(1 à a)
puis lnx.(dx)/x = lnX.(dX)/X

ce qui rendrait cette Intégrale nulle

est-ce bien ça ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 13-02-07 à 01:18

C'est bien ça mais tu pouvais aussi laisser l'intégrale tel quel et en faisant le même changement de variable, on trouvait que cette intégrale était égale à son opposée.

Kaiser

Posté par
mikayaoure : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 13-02-07 à 01:23

ok

si, dans un premier temps, tu n'avais pas mis les bornes, je pense que j'aurais eu plus de mal à la trouver car le " x^p+x^-p " ne me sautait pas aux yeux

jolie, cette formulation, et très pédagogique pour la manipulation des changements de variables
effectivement, accessible aux Tles (j'envisageais, à tort, des chgts de type hyperbolique non au pgm de Tle)

tu en connais d'autres tout aussi sympas ?


autre question :
est-ce que les règles de Bioche s'appliquent aux fonctions hyperboliques ? as-tu des exemples probants ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 13-02-07 à 01:34

Citation :
tu en connais d'autres tout aussi sympas ?

Pour le moment, je n'en ai pas en tête (l'intégrale que j'avais donnée, je l'avais trouvé sur Internet).
Sinon, tu voudrais une intégrale également abordable au niveau Terminale.

Citation :
autre question :
est-ce que les règles de Bioche s'appliquent aux fonctions hyperboliques ? as-tu des exemples probants ?


Je crois en avoir déjà entendu parler mais sans plus !


Sinon , je crois que je vais vous laisser pour aller !

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 13-02-07 à 01:34

Donc bonne nuit à tous !

Kaiser

Posté par
mikayaoure : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 13-02-07 à 01:38

Bonne nuit à toi !

Posté par
Roulianere : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 13-02-07 à 01:46

Citation :
est-ce que les règles de Bioche s'appliquent aux fonctions hyperboliques ?


Oui elle s'applique aux fonctions hyperboliques.
Si tu as une fonction rationnelle en sh(x) et ch(x), tu utilises la règle de Bioche comme si tu avais des sinus et des cosinus, et tu poses ensuite u=ch(x) ou u=sh(x) etc ...

Posté par
mikayaoure : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 13-02-07 à 07:34

merci Rouliane

as-tu des exemples applicatifs "classiques" illustrant Bioche avec des hyperboliques ?

merci

Posté par
Roulianere : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 13-02-07 à 11:45

Ben je ne connais pas d'exemple classique, parce qu'en fait j'ai l'impression qu'on rencontre rarement ce type d'intégrale, mais tu peux essayer de calculer :

3$ \Bigint \frac{dx}{ch(x)\sqrt{ch(2x)}}.

Mais je te préviens, c'est loin d'etre évident !

Posté par
lafol Moderateurre : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 13-02-07 à 14:34

Bonjour,
il me semble que dans la pratique, on les utilise assez peu avec les fonctions hyperboliques, parce que les écrire sous forme de combinaisons d'exponentielles suffit souvent, non ?

Posté par
Roulianere : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 13-02-07 à 14:56

Je pense pas que ça suffise, sinon on s'embeterait pas avec de telles règles.

Posté par
lafol Moderateurre : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 13-02-07 à 15:02

c'est pour ça que j'ai mis "souvent" : pas "toujours"

Posté par
Roulianere : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 13-02-07 à 15:24

Ok !

L'exemple que j'ai proposé à Mikayaou n'a pas l'air de lui plaire, il est pourtant hyper complet :

- changement de variable avec règle de Bioche ( qui demande un petit bidouillage avant )
- on peut ensuite indépendamment de cette exercice, donner une écriture de la bijection réciproque de sh sur R.

Posté par
mikayaoure : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 13-02-07 à 15:34

si si Rouliane, merci pour ta proposition d'ailleurs

Posté par
Roulianere : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 13-02-07 à 15:37

de rien

T'as réussi à t'en sortir ?

Posté par
mikayaoure : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 13-02-07 à 15:42

tu es certain qu'elle est "primitivable" ?

mon calculateur habituel me donne x - x^3/2 + 3x^5/8 + O(x^7)

Posté par
Roulianere : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 13-02-07 à 15:45

Oui, elle est "primitivable" .

Bidouille un peu ce qu'il y a sous la racine ( ch(2x)=ch²x+sh²x ) puis fait un changement de variable en utilisant la règle de Bioche pour les fonctions hyperboliques.

Posté par
Cauchyre : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 13-02-07 à 15:47

Rouliane t'es le spécialiste en bidouillage d'intégrales

Posté par
Roulianere : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 13-02-07 à 15:49

:ptdr:

J'aime bien

Posté par
Roulianere : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 13-02-07 à 15:49

erreur de smiley désolé

Posté par
Cauchyre : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 13-02-07 à 15:55

Citation :
mon calculateur habituel


Tu utilises quoi?

Moi ca m'a sorti une expression à rallonge.

Posté par
Roulianere : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 13-02-07 à 16:30

Pour info, on doit trouver argsh(x).

Posté par
lafol Moderateurre : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 13-02-07 à 17:00

T'es sur de ton coup, Rouliane ? en posant t = shx , j'arrive à des primitives de \frac{1}{(1+t^2)\sqrt{1+2t^2}} ?

Posté par
Roulianere : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 14-02-07 à 00:11

Faut bidouiller un peu car il me semble qu'on s'en sort pas en posant directement t=sh(x).

fait apparaitre du thx sous la racine en écrivant déjà que ch(2x)=ch²x+sh²x

Posté par
Roulianere : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 14-02-07 à 17:16

Pour compléter un peu :

On a 3$ \blue \frac{dx}{ch(x)\sqrt{ch(2x)}} = \frac{dx}{ch(x)\sqrt{ch^2(x)+sh^2(x)}} = \frac{dx}{ch^2(x)\sqrt{1+th^2(x)}}

On peut faire maintenant le changement de variable \fbox{3$ \blue t=th(x)}

Et on a donc : 3$ \red \fbox{\Bigint \frac{dx}{ch(x)\sqrt{ch(2x)}} = \Bigint \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}}}

Bon courage pour la suite

Posté par
infophilere : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 14-02-07 à 17:17

Joli

Posté par
Roulianere : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 14-02-07 à 17:21

T'emballes pas parce que c'est pas fini encore

Posté par
infophilere : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 14-02-07 à 17:22

T'emballe pas (sans S )

On me fait toujours la remarque

Posté par
Roulianere : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 14-02-07 à 17:23

Posté par
mikayaoure : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 14-02-07 à 17:40

... = Argsh( th(x) ) + C

Posté par
Roulianere : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 14-02-07 à 17:50

Oué, c'est ça

Remarque aussi qu'on a pour tout t \in \mathbb{R}, 3$ \blue \fbox{argsh(t)=ln(t+\sqrt{1+t^2})}

Je vous laisse le démontrer

On aura alors : 4$ \red \fbox{\fbox{\Bigint \frac{dx}{ch(x)\sqrt{ch(2x)}} = ln[th(x)+\sqrt{1+th^2(x)}] + C}}

Posté par
mikayaoure : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 14-02-07 à 17:54

si tu y vas comme ça, Rouliane, on peut aussi revenir à l'exponentielle avec :

th(x) = (e^x - e^-x)/(e^x + e^-x) = -(1-e^2x)/(1+e^2x) = 1 - 2/(1+e^2x)



peut-être même qu'avec des angles moitié ou double on doit pouvoir le simplifier grâce à la présence du ln et de l'expo

Posté par
mikayaoure : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 14-02-07 à 17:55

démontrer ?



Posté par
Roulianere : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 14-02-07 à 18:00

Je disais ça parce que je connaissais pas cette relation entre argsh et le logarithme, et ça peut etre intéressant de savoir le montrer, en tout cas de savoir d'où ça vient.

Posté par
mikayaoure : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 14-02-07 à 18:07

en fait, il vaut mieux - à mon avis - ne pas s'encombrer l'esprit avec cette mémorisation

on a y = sh(x) = (e^x-e^-x)/2

2y = e^x - e^-x

e^2x - 2ye^x - 1 = 0

e^x = X => X²-2yX-1=0 => Delta' = y²+1 => X = e^x = y+racine(1+y²) car X>0 => x = ln( y + V(1+y²) )

c'est tout bête...

Posté par
Roulianere : Kaiser's Integral : f(x^p+x^-p).lnx/x entre 1/a et a 14-02-07 à 18:26

Mais je sais que c'est pas bien compliqué, mais tout le monde connait peut-etre pas cette relation, et c'est bien de savoir la retrouver.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !