Bonsoir dragon.
Il me semble que si p et q commutent, il y a stabilité :
x dans Imp --> p(x) = x --> qp(x) = q(x) --> p[q(x)] = q(x) --> q(x) est dans Im(p). Donc Im(p) est q-stable. Par symétrie, Im(q) est p-stable. Peut-on utiliser cela pour la suite ?
Cordialement RR.

on a pq = qp donc (pq)² = pqpq =pp qq = pq  donc pq est un projecteur (je le met parceque c'est tellement court que je peut aps resister ^^ )


pour ce qui est de Ker pq il faut toujour procedé par construction : (enfin sauf quand tu a l'idee de genie qui permet de conclure imediatement, mais la ce n'est pas le cas ^^ )

donc soit x dans Ker pq, on decompose x sur la somme ker P + Im p :

x = p(x) + p'(x)


et la on s'arrete et on voit que : p(x) est dans Ker q, puisque x est dans Kep pq =Ker qp, p'(x) et dans Ker p

donc Ker pq est inclu dans Ker p + ker q.

reciproque soit x dans Kerp + ker q

x= a + b (a dans ker p, b dans ker q)
p(x) = p(b)
qp(x) = qp(b) =pq(b) =0

donc Ker qp = ker p +ker q.

NB : la somme n'est pas neccessairement directe, par exemple l'un des projecteur peut etre x -> 0 ....


pour l'image on proecede de la meme facon et on trouve Im pq = Im p inter Im q il me semble.

oui escuse moi j'ai supposé que tu avait deja fait les calcule sur l'algebre L(E) en cours.


si ce n'est pas le cas, remplace tous les pq et qp par des p o q et q o p et oubli ma reponse a la premiere question ^^

merci beaucoup
oui pour les qp et pq javais compris

merci encore de votre aide