Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

[Khôlle de maths] Suites convergentes

Posté par
infophile 22-11-07 à 19:50

Bonsoir

Une suite sympathique que j'ai eu à étudier en khôlle aujourd'hui :

Citation :
Soit 3$ \rm (u_n)_{n\in \mathbb{N}} et 3$ \rm (v_n)_{n\in \mathbb{N} deux suites définies par la relation de récurrence suivante :

3$ \rm \{\frac{2}{u_{n+1}}=\frac{1}{u_n}+\frac{1}{v_n}\\v_{n+1}=\frac{1}{2}\(u_n+v_n\) avec 3$ \rm \{u_0=1\\v_0=2

Montrer que ces deux suites convergent vers la même limite et déterminer celle-ci.


Posté par
Archange21re : [Khôlle de maths] Suites convergentes 22-11-07 à 19:52

Salut, t'as eu une bonne note au moins ? lol

Posté par
infophilere : [Khôlle de maths] Suites convergentes 22-11-07 à 19:54

Salut

Je suis tombé sur la khôlleuse la plus redoutée de ma prépa mais bon

J'ai eu 16 donc ça va !

Posté par
Archange21re : [Khôlle de maths] Suites convergentes 22-11-07 à 19:57

Ca

Posté par
Archange21re : [Khôlle de maths] Suites convergentes 22-11-07 à 19:57

va bien joué

Posté par
lyonnaisre : [Khôlle de maths] Suites convergentes 22-11-07 à 20:10

Salut Kevin

Pas le temps de resté (j'ai plein de devoir mais je profite enfin d'internet !!)

Si on supposes que u(n) et v(n) convergent respectivement vers l et l' alors on trouve facilement :

2/l = 1/l + 1/l' soit l = l'

Et avec l'autre équation aussi (une suite extraite converge vers la même limite).

De plus, on montre facilement que :

u(n)/u(n+1) = v(n+1)/v(n)

Donc u(n)v(n) est constante égale avec u(0)v(0) = 2

Avec ça on doit pouvoir montré que (u(n)) et (v(n)) convergent

A+ (et félicitation pour ta colle) !

Posté par
infophilere : [Khôlle de maths] Suites convergentes 22-11-07 à 20:37

Salut romain

Oui j'ai à peu près fait ça pour la limite !

Citation :
Montrons que les suites 3$ \rm (u_n) et 3$ \rm (v_n) sont adjacentes.

3$ \rm \red \clubsuit 3$ \rm v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{(v_n-u_n)^2}{2(u_n+v_n)}\ge 0\Longrightarrow \forall n\in \mathbb{N}, v_n\ge u_n

3$ \rm \clubsuit 3$ \rm u_{n+1}-u_n=\frac{2u_nv_n}{u_n+v_n}-u_n=\frac{u_n(v_n-u_n)}{u_n+v_n}\Longrightarrow \forall n\in \mathbb{N}, u_{n+1}\ge u_n donc 3$ \rm (u_n) croissante.

3$ \rm \clubsuit 3$ \rm v_{n+1}-v_n=\frac{1}{2}\(u_n-v_n\)\le 0\Longrightarrow \forall n\in \mathbb{N}, v_{n+1}\le v_n donc 3$ \rm (v_n) décroissante.

En réutilisant 3$ \rm \red \clubsuit et en itérant on obtient 3$ \rm v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{(v_0-u_0)^{2n}}{2^n(u_0+v_0)^{n}}=\frac{1}{6^n} d'où 3$ \rm \lim_{n\to +\infty}v_{n+1}-u_{n+1}=0

On en déduit que 3$ \rm (u_n) et 3$ \rm (v_n) sont adjacentes donc elles convergent vers une même limite 3$ \rm \ell

Remarquons alors que 3$ \rm u_n+v_n=2v_{n+1} d'où 3$ \rm u_{n+1}=\frac{u_nv_n}{v_{n+1}}\Longleftrightarrow u_{n+1}v_{n+1}=u_nv_n

Donc  3$ \rm \forall n\in \mathbb{N}, u_nv_n=u_0v_0=2 et puisque 3$ \rm (u_n) et 3$ \rm (v_n) convergent vers 3$ \rm \ell on en conclut 3$ \rm \fbox{\ell=\sqrt{2}}

Posté par
lyonnaisre : [Khôlle de maths] Suites convergentes 22-11-07 à 20:39

Nikel Kevin

Bonne soirée

Posté par
infophilere : [Khôlle de maths] Suites convergentes 22-11-07 à 20:39

Sinon en question de cours j'ai du démontrer que 3$ \rm \mathbb{Q} est dense dans 3$ \rm \mathbb{R} ça va

Posté par
infophilere : [Khôlle de maths] Suites convergentes 22-11-07 à 20:40

Bonne soirée à toi aussi

Posté par
jeansebre : [Khôlle de maths] Suites convergentes 22-11-07 à 20:43

Bonsoir

Félicitations Kevin!

Grosso modo, comment démontres-tu que Q est dense dans IR? Avec les suites de Cauchy?

Posté par
infophilere : [Khôlle de maths] Suites convergentes 22-11-07 à 20:45

Bonsoir jeanseb

C'est pas une note extraordinaire mais venant de cette khôlleuse je suis satisfait merci !

Non en utilisant la définition de la partie entière.

Posté par
lyonnaisre : [Khôlle de maths] Suites convergentes 22-11-07 à 20:49

Citation :
C'est pas une note extraordinaire

Je ne sais pas comment ils notent dans ton lycee, mais chez moi, quand tu as 16 en colle, c'est que tu as pas mal réussi :D

Mon record doit être à 18 !

Tu verras, 16 au concours, ça te satisfera tout à fait :D

Posté par
infophilere : [Khôlle de maths] Suites convergentes 22-11-07 à 20:58

Oui c'est bien mais ça dépend beaucoup des khôlleurs aussi

Genre là cette khôlle j'ai tout fait sans l'aide de la prof et j'ai eu 16 alors qu'une fois j'avais demandé des indices et j'ai eu 18 (mon record aussi, sur de la géométrie dans l'espace, j'ai pas compris quand j'ai vu ma note )

Et t'as déjàn eu des khôlleurs méchants ?

Posté par
Cauchyre : [Khôlle de maths] Suites convergentes 22-11-07 à 21:26

Bonjour,

Kévin 16 et il est pas satisfait

Sinon pour la densité de Q dans R, vous avez construit comment R?

Posté par
infophilere : [Khôlle de maths] Suites convergentes 22-11-07 à 21:31

Salut Cauchy

Tu viens parce qu'on parle de tes suites ?

On l'a pas construit lol on a juste énoncé les axiomes de la droite réelle (R corps commutatif totalement ordonnée, R archimédien et axiome de la borne supérieure).

Et à partir de ces trois propriétés on a démontré le reste

Vous avez un lien sur la démo avec les suites de cauchy ?

Posté par
Cauchyre : [Khôlle de maths] Suites convergentes 22-11-07 à 21:40

Oui j'ai un lien

Posté par
infophilere : [Khôlle de maths] Suites convergentes 23-11-07 à 16:00

Merci pour le lien

Je viens de remarquer que je me suis planté dans l'itération, la prof y a vu que du feu

Ca change rien à la démonstration "Satan" bien vers 0

Posté par
1 Schumi 1re : [Khôlle de maths] Suites convergentes 24-11-07 à 07:43

Marc, c'est ton site? (Bon ok c'est bon je sors).

Kévin >> Au fait pour la dernière fois, c'était triviale ton histoire avec les r^3, non?


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !