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L'absurde

Posté par
yassineben200 06-10-19 à 15:19

bonjour,
est-ce-que je peux avoir un peu d'aide?
voice la question:
Soient x,y + tels que x,y    soient irrationnels.
Montrer que: x+y est irrationnel  

merci d'avance

Posté par
carpediemre : L'absurde 06-10-19 à 15:26

salut

suppose que r(x) = a/b et r(y) = c/d

puis calcule [r(x) + r(y)]^2 ...

Posté par
yassineben200re : L'absurde 06-10-19 à 15:36

carpediem
après calcul j'ai eu comme résultat:

x+y={a^2 . d^2 + 2ac.bd + c^2 . b^2} / {b^2 . d^2}

et puis?

Posté par
cerveaulogikre : L'absurde 06-10-19 à 15:41

Bonjour,
Tu peux simplifier ton expression. Que trouves-tu alors ?

Il y a également une autre méthode pour cette preuve : considérer

x-y= (\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})

Posté par
yassineben200re : L'absurde 06-10-19 à 15:53

cerveaulogik
j'ai pas pus simplifier l'expression

Posté par
yassineben200re : L'absurde 06-10-19 à 15:55

cerveaulogik

et pour la 2eme méthode  je dois faire quoi ..?

Posté par
cerveaulogikre : L'absurde 06-10-19 à 15:57

L'expression que tu as est la suivante :

\dfrac{a^2 d^2 + b^2 c^2 + 2abcd}{b^2 d^2} = \dfrac{a^2b^2}{b^2 d^2}  + \dfrac{2abcd}{b^2 d^2}  + \dfrac{b^2 c^2}{b^2 d^2}

Tu peux la simplifier.


Pour la 2ème méthode, il faut chercher, réfléchir...

Posté par
yassineben200re : L'absurde 06-10-19 à 16:02

cerveaulogik
ecrire r(x) sous forme du reste ?  (la 2ème methode)




et pour la première où est ce que je dois arriver stp?? c'est quoi l'objectif

Posté par
cerveaulogikre : L'absurde 06-10-19 à 16:02

C'est quoi l'objectif ? En voilà une bonne question !

Posté par
yassineben200re : L'absurde 06-10-19 à 16:04

cerveaulogik
je suis désolé, je suis pas francais
je voulais dire ou est ce je dois arriver avec l'expression tu as simplifier

Posté par
carpediemre : L'absurde 06-10-19 à 17:12

yassineben200 @ 06-10-2019 à 15:36

x+y={a^2 . d^2 + 2ac.bd + c^2 . b^2} / {b^2 . d^2}
c'est faux !!!

il manque le développement du carré proprement fait ...

(\sqrt x + \sqrt y)^2 = x + y + 2\sqrt {xy} \iff \sqrt {xy} = \dfrac 1 2 \left[ (\dfrac a b + \dfrac c d)^2 - \dfrac a b - \dfrac c d \right]

et en fait je me suis trompé !!!

c'est on suppose que \sqrt x + \sqrt y = \dfrac p q est rationnel

on élève au carré et on montre alors que \sqrt {xy}   est rationnel

or x + \sqrt {xy} = \sqrt x (\sqrt x + \sqrt y) (et idem avec y) permet alors de conclure que \sqrt x (et idem avec y) est rationnel

Posté par
yassineben200re : L'absurde 06-10-19 à 19:09

merci pour l'explication carpediem
quand on élève le carré on montre xy rationnel en l'isolant et en montrant que son égale est rationnel? (selon ce que j'ai compris)


j'aimerais bien comprendre la dernière phrase de ta réponse car je ne la vois pas quand j'ai essayer de montrer que xy rationnel



(je suis en premiere si je parrait stupid ne me jugez pas svp)

Posté par
carpediemre : L'absurde 06-10-19 à 19:17

carpediem @ 06-10-2019 à 17:12

on suppose que \sqrt x + \sqrt y = \dfrac p q est rationnel   (1)

on élève au carré et on montre alors que \sqrt {xy}   est rationnel  (2)

or (E)  :  x + \sqrt {xy} = \sqrt x (\sqrt x + \sqrt y) (et idem avec y) permet alors de conclure que \sqrt x (et idem avec y) est rationnel


x est rationnel (d'après l'énoncé) et d'après (2) le premier membre de (E) l'est

d'après (1) le deuxième facteur du deuxième membre de (E) est rationnel

que peut-on alors en déduire sur \sqrt x  ?

PS : et tu n'es pas stupide !!

c'est un raisonnement qui n'est pas trivial donc c'est normal que ce soit un peu dur pour toi

Posté par
yassineben200re : L'absurde 06-10-19 à 19:28

carpediem
merci beaucoup ! j'ai compris et vous m'avais vraiment encouragé !
j'éspère que tu passeras une très bonne fin de journée

Posté par
carpediemre : L'absurde 06-10-19 à 19:31

de rien et à toi aussi

Posté par
yassineben200re : L'absurde 11-10-19 à 23:52

carpediem
j'ai une petite question à propos de ceci


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