utilise des suites xn et yn de C convergeant respectivement vers x et y et trouve une suite zn convergeant vers z

Tu prends t dans [0 , 1[ et W un voisinage de z = t.x + (1 - t).y , tu considères l'homothétie h de centre x telle que h(z) = y et montres que V = h(W) est un voisinage de y , qui rencontre donc C en un point u et tu regardes v = h^-1(u).
Un dessin peut t'aider à voir ce que ça donne .

salut

soit I = {z = tx + (1 - t)y, t [0, 1]}

I = {x, y} I°  (intérieur de I)

I est convexe donc I° aussi donc I° C aussi donc I° C* (adhérence de C)

donc I C* donc C* est convexe

....

ouais bof c'est tiré par les cheveux ... mais ça doit pas être loin d'être bon ....

La méthode de Manny06 , bien plus rapide , ne marche que si  l'espace vectoriel topologique considéré est métrisable .

Manny06 : il n'y a pas de métrique sur E donc on n'a pas de notion de convergence

kybjm : ok pour la preuve mais je n'arrive pas à monter formellement que h(W) est un voisinage de y. Ca contient y mais montrer que ça contient un ouvert contenant y...

carpediem : ok ça utilise que des propriétés sur les convexes

Il existe r > 0 tel que  BO(z,r) W donc h(W) h(BO(z,r)) = BO(y,r') où r = k.r > 0 , k étant le rapport de l'homothétie h qui est ...?.

j'avais lu un peu trop vite.....

pas de soucis Manny06

kybjm : oui j'ai fait quelquechose comme ça mais je me suis dit qu'on avait besoin de distance ou de norme pour parler de boule ouverte... or on n'en a pas... On peut aussi définir une P-BO où P est une famille de semi-normes...

bonjour,
on pourrait considérer   {}où sont choisis voisinages ouverts, c'est un ouvert
{}   est un ouvert de non vide ,

Bonjour DOMOREA,

je ne comprends pas le dernier passage :

D'accord !

Utilise le fait que pour tout a de E et tout k , l'homothétie h(a,k) de sommet a et de rapport k est continue (cela résulte de ce que les lois de -ev sur E sont continues ).
Il en résulte que toute  pour tout a de E et tout k * ,  h(a,k) est un homéomorphisme de E sur lui même , son inverse étant h(a,1/k)

Tu emplaces alors BO(z,r) par   "ouvert contenant z" et BO(y,r') par  " ouvert contenant y" dans ce que j'ai écrit .

Bonjour athrun,
Je raisonnais par continuité d'une fonction faisant intervenir x',y' t sur le produit des ouverts

D'accord pour le fait que h est un homéomorphisme de E.

Ok on prend par exemple un ouvert O de W contenant z alors h(O) h(W) et h(O) contient y.

Il reste à montrer que h(O)={k(a-x)+x, aO} est ouvert.

Au passage on a k = 1/(1-t).

Pour la suite, si on a montré que h(O) est ouvert, alors h(W) est bien un voisinage de y et donc rencontre C. Soit donc uh(W)C. v=h^-1(u) est dans W et v=(1-t)u+tx mais x n'est pas forcément dans C donc je ne peux en déduire que v est dans C en utilisant la convexité..

Soit C un convexe de E .


1.Si x C et y    alors [x , y[    .
Soient en effet z ]x , y[ et W un ouvert contenant z .
Soit par ailleurs h l'homothétie de sommet x telle que h(z) = y .
V = h(W) est un ouvert contenant y donc rencontre C . Soient v   h(W)C  et w = h^-1(v) . w est un point de W et du segment ]x , v] donc w C puisque x et v sont dans C .
Cela prouve que z    .

2. est convexe.
Soient en effet a et b sont dans   , u   ]a , b[ et U un ouvert contenant u .
Soit par ailleurs H l'homothétie de sommet a telle que H(u) = b . H(U) rencontre C . Soit x H(U)C et c = H^-1(x) . On a : c [x , a[ qui , d'après le 1. , est contenu dans C . On a donc c CU , ce qui prouve que c    . Et donc  ]a , b[  est contenu dans .

Merci kybjm pour cette réponse aussi détaillée

je vous suis jusqu'à l'avant dernière ligne :

" qui, d'après le 1., est contenu dans C"

d'après le 1. c'est pas plutôt contenu dans seulement ?

Oui , il faut modifier la fin : c et l'ouvert U auquel il appartient , rencontre C .

Ah d'accord ! On (vous) a montré que est non vide, prenons . Comme et est un voisinage de (puisque ouvert contenant ) alors rencontre et est convexe.

Eh bien encore merci kybjm (et aux autres intervenants du topic), et sur ce, bonne soirée