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Niveau Reprise d'études
L'aire A'B'C' vaut combien de fois l'aire de ABC ?
Posté par Specifique
Bonjour !
J'ai besoin d'aide je suis perduuuue !
Un triangle ABC non plat étant donné; soit A' le symétrique de A par rapport à B, B' le symétrique de B par rapport à C, C' le symétrique de C par rapport à A. L'aire de A'B'C' vaut combien de fois l'aire de ABC ?
A- (aire de ABC)^2
B- 5 fois
C- 6 fois
D- 7 fois
E- 8 fois
Je ne sais vraiment pas du tout du tout comment faire !
Merci beaucoup !
est-ce un QCM où il faut aller vite, ou un exercice où on attend une démonstration ?
au feeling, je dirais 7
Bonjour,
Si on note a, b, c les mesures des côtés du triangle ABC, A, B , C, celles des angles aux sommets, on a:
S(ABC)= (1/2)bcsinA
et S(A'AC')= (1/2) b(2c) sinA= 2S(ABC)
Même calculs pour les autres.
Il en résulte que S(A'B'C')=7S(ABC)
Bonsoir.
C'est un qcm et qu'il faut répondre vite, tu peux faire un croquis comme celui-ci.
Il n'a pas besoin d'être vraiment précis, c'est juste pour voir.
L'aire du triangle noir est 0,5 carreau.
L'aire du triangle rouge, en carreaux, est 9-3-1-1,5=3,5.
C'est sept fois l'aire du triangle noir, et tu as la réponse.
Note : j'ai fait une figure à l'ordinateur, on peut se contenter d'un croquis totalement imprécis.
Pour calculer l'aire du triangle rouge j'ai enlever l'aire des triangles « extérieurs » à partir du coin supérieur droit et en tournant dans le sens direct.
Et j'ai bien entendu supposé qu'au moins une des réponses proposées est exacte.
Oui c'est un QCM où il faut même répondre très vite !
Merci pour vos réponses ! Je réessaierai sur une feuille de brouillon l'histoire des petits carreaux ! Je pense que c'est le mieux niveau rapidité !
On pourrait dire aussi :
Les triangles BB'A' et BB'A ont même aire.
La médiane AC du triangle BB'A le partage en deux triangles ACB' et ABC de même aire.
L'aire du triangle BB'A' est donc le double de celle du triangle ABC.
Soient S l'aire du triangle ABC et S' celle du triangle A'B'C'
En faisant intervenir A" le symétrique de B parrapport à A , B" le symétrique de C parrapport à B et C" le symétrique de A par rapport à C on obtient un hexagone convexe de sommets A" , C ' , B " , A' , C " , B' d'aire 13 fois l'aire S du triangLE
L'aire p du parallélogramme P de sommets A , C' , B" , A ' vaut 2 fois l'aire du triangle A , C' , A '
L'aire q du parallélogramme Q de sommets B , A' , C" , B ' vaut 2 fois l'aire du triangle B , A ' ,B '
L'aire r du parallélogramme R de sommets C , B' , A" , C ' vaut 2 fois l'aire du triangle C , B ' , C '
Par ailleurs p = q = r = 4S et .
S ' = 7S .
Salut etniopal.
C'est une démonstration brillante et à la quelle je n'avais pas pensé.
Mais ce n'est pas le problème de Specifique.
Qui n'a pas à démontrer qu'une réponse est juste, mais juste à choisir la bonne réponse.
salut
moi j'aime bien ton idée verdurin : ce qui est "censé" être vrai pour tout triangle l'est donc pour (un) certain triangle : en particulier celui qui est rectangle et isocèle ... et alors un quadrillage donne immédiatement la réponse ...
Bonjour,
Perso, pour ce qui est d'une démonstration, je préfère celle de Priam qui semble être passée un peu inaperçue.
Elle utilise cette seule propriété : Une médiane découpe un triangle en deux triangles de même aire.
Et n'utilise pas de nouveau point, seulement le tracé de 3 segments à l'intérieur de la figure.
Le triangle A'B'C' est alors découpé en 7 triangles de même aire.
De rien, l'exercice était intéressant et va peut-être m'inspirer pour un énoncé plus compliqué, avec des homothéties de rapport -n au lieu des symétries.
En fait, la figure comporte 6 points. Il suffisait de la compléter pour que chaque point soit relié aux 5 autres 
Pour ceux que ça intéresse : 
Deux triangles et leurs aires