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Niveau Reprise d'études
L'anneau Z/nZ
Posté par Milka3
Bonjour,
pour définir l'anneau en question, j'ai vu qu'il fallait successivement définir :
Une relation d'équivalence .
Une classe d'équivalence .
L'ensemble quotient (après D.E.)
On définit deux lois de compositions internes qui permettent de munir cet ensemble d'une structure d'anneau.
C'est un anneau commutatif à n éléments.
Ma question concerne les valeurs de n=0 et n=1.
L'anneau est-il commutatif pour tout ? Ou uniquement pour
?
Qu'est-ce que ? Et
?
Bonjour,
Peux-tu expliciter ce qu'est la relation d'équivalence dans le cas n=0 ? dans le cas n=1 ?
Ça te permettra de répondre à ta question.
Et oui, est un anneau commutatif, même pour n=0 et pour n=1.
Sinon, à l'intuition, tu peux comprendre G/H comme une copie du groupe G où on identifie tous les éléments de H à 0.
Ici Z/0Z = Z/{0}. On identifie 0 à 0, i.e on ne fait rien. Ce truc là est une simple copie de Z.
Z/1Z = Z/Z. On identifie tous les entiers à 0. Ce truc là est {0}.
Bonjour
pour n = 0 ta relation d'équivalence ressemble furieusement à l'égalité ordinaire. Chaque entier n'est en relation qu'avec lui-même, il y a autant de classes que d'entiers : c'est pareil que
, d'une certaine manière.
pour n = 1au contraire, chaque entier est en relation avec tous les autres : il n'y a plus qu'une classe d'équivalence, se résume au singleton
Bonsoir à tous !
J'essaye d'expliciter cette relation d'équivalence en écrivant :
Pour n=0 :
Puis j'écris que mais je ne suis pas certain de la dernière égalité.
Par la suite, je peux écrire . Je crois que c'est bon !
---
Pour n=1 :
Puis j'écris que .
Et là, je bloque sur l'égalité ensembliste pour retrouver ce que vous suggérez -_-
Ok !
En fait, j'arrive à me convaincre pour le cas n=0 puisque :
En revanche, le cas n=1 est mon évident je trouve car :
Et je ne vois pas pour quelle raison ?
En fait, je commence à me perdre quand je pense aux ensembles.
J'écris :
Je cherche donc les de sorte que
. Sachant
, c'est donc que
?
Non, la tu es complètement à l'ouest.
Fais un "Control-Reset" et repars sur de bonnes bases.
Tu veux montrer que dans le cas , on a
pour tout
, autrement dit
.