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Niveau maths spé
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L'ensemble des inversibles d'une algèbre est un ouvert

Posté par
ZiYun
15-05-18 à 13:21

Bonjour,

En révisant des démonstrations du cours, j'ai trouvé une à laquelle je n'avais pas prêté attention à l'époque, et que je n'ai pas compris. J'espère que vous pourrez m'aider afin que j'assimile la démarche de cette preuve.

Voici la démonstration proposée :
Soit aAx
Soit hA, a+h=a(1_{A}+a^{-1}h)
Si \parallel h\parallel < \frac{1}{\parallel a^{-1}\parallel } alors \parallel h\parallel \parallel a^{-1}\parallel < 1 et donc 1_{A}+a^{-1}h est inversible et donc a+h l'est car Ax est un groupe.
Ainsi on a montré que la boule de centre a et de rayon : \frac{1}{\parallel a^{-1}\parallel} est incluse dans Ax.

Mais prenons un élement h de cette boule, il vérifie l'inégalité : \parallel a+h\parallel <\frac{1}{\parallel a^{-1}\parallel} , je ne vois pas comment on pourrait montrer que h est inversible.

J'espère que vous pourrez m'aider afin de comprendre cette démonstration, et pourquoi si h un élément de A tel que \parallel h\parallel \prec \frac{1}{\parallel a^{-1} \parallel } alors vu que a+h serait inversible , on a la boule de centre a et de rayon : \frac{1}{\parallel a^{-1}\parallel} serait incluse dans le groupe des inversibles de A.

Merci d'avance



Posté par
Schtromphmol
re : L'ensemble des inversibles d'une algèbre est un ouvert 15-05-18 à 13:35

Bonjour,

Il manque l'hypothèse que A est de Banach pour déduire de ||h a^(-1)|| < 1 que 1 + h a^(-1) est inversible.

Sinon le principe de la preuve est simple : on montre que tout élément de la boule ouverte de centre a et de rayon 1/||a^(-1)|| (i.e. tout élément de la forme a + h tel que ||h|| < 1/||a^(-1)||) est inversible, donc Ax contient un ouvert contenant a pour tout a dans Ax, donc Ax est ouvert.

Posté par
ZiYun
re : L'ensemble des inversibles d'une algèbre est un ouvert 15-05-18 à 13:42

Bonjour,

Je m'excuse d'avoir oublié cette hypothèse. En effet, dans notre programme on travaille avec une algèbre de dimension finie ( donc elle est complète ). Je vois, il fallait écrire x=a+h.

Merci pour votre réponse.

Posté par
carpediem
re : L'ensemble des inversibles d'une algèbre est un ouvert 15-05-18 à 20:11

salut

il me semble qu'il manque aussi le fait que la boule ouverte B(1,, 1) est incluse dans l'ensemble des inversibles ... ou encore que si ||h|| < 1 alors  1 + h est inversible ...

Posté par
Schtromphmol
re : L'ensemble des inversibles d'une algèbre est un ouvert 15-05-18 à 20:52

C'est une conséquence de la complétude.



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