Bonjour,
En révisant des démonstrations du cours, j'ai trouvé une à laquelle je n'avais pas prêté attention à l'époque, et que je n'ai pas compris. J'espère que vous pourrez m'aider afin que j'assimile la démarche de cette preuve.
Voici la démonstration proposée :
Soit aAx
Soit hA,
Si alors
et donc
est inversible et donc a+h l'est car Ax est un groupe.
Ainsi on a montré que la boule de centre a et de rayon : est incluse dans Ax.
Mais prenons un élement h de cette boule, il vérifie l'inégalité : , je ne vois pas comment on pourrait montrer que h est inversible.
J'espère que vous pourrez m'aider afin de comprendre cette démonstration, et pourquoi si h un élément de A tel que alors vu que a+h serait inversible , on a la boule de centre a et de rayon :
serait incluse dans le groupe des inversibles de A.
Merci d'avance
Bonjour,
Il manque l'hypothèse que A est de Banach pour déduire de ||h a^(-1)|| < 1 que 1 + h a^(-1) est inversible.
Sinon le principe de la preuve est simple : on montre que tout élément de la boule ouverte de centre a et de rayon 1/||a^(-1)|| (i.e. tout élément de la forme a + h tel que ||h|| < 1/||a^(-1)||) est inversible, donc Ax contient un ouvert contenant a pour tout a dans Ax, donc Ax est ouvert.
Bonjour,
Je m'excuse d'avoir oublié cette hypothèse. En effet, dans notre programme on travaille avec une algèbre de dimension finie ( donc elle est complète ). Je vois, il fallait écrire x=a+h.
Merci pour votre réponse.
salut
il me semble qu'il manque aussi le fait que la boule ouverte B(1,, 1) est incluse dans l'ensemble des inversibles ... ou encore que si ||h|| < 1 alors 1 + h est inversible ...
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