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L'ensemble des points M

Posté par
pikozie
07-03-22 à 21:02

Bonjour... Encore un sujet qui semble me fatiguer :

Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z, tel que Z=(z-1)(z+2i):
1-  soit un réel
2- soit un imaginaire pur

J'ai commencé par posé z=a+on
=> Z=(a-1+ib)(a+(b+2)i)
       Z=[a(a-1)-b(b+2)]+[(a-1)(b+2)+ab]i

1- Z est un réel si (a-1)(b+2)+ab=0 Mais je ne sais pas ce que ça pourrait donner comme courbe)

2- Z est imaginaire pur si a(a-1)-b(b+2)=0 => (a-0,5)²-(b+1)²+0,75 (Si je continue je sais que ça me donne une hyperbole) ??

Merci d'avance...

Posté par
pikozie
re : L'ensemble des points M 07-03-22 à 21:03

Le "on", il faut lire ib

Posté par
carpediem
re : L'ensemble des points M 07-03-22 à 21:12

salut

1/ développer et réduire ...

2/ peut s'écrire x^2/k^2 - y^2/k^2 = 1 ...

Posté par
pikozie
re : L'ensemble des points M 07-03-22 à 21:23

1/ J'ai 2a-b+2ab-2=0

2/ Ok... Donc c'est une hyperbole

Posté par
larrech
re : L'ensemble des points M 07-03-22 à 21:28

Bonsoir,

Pour la 1/ regarde ce que donne le changement de variables X=a-1/2, Y=b-1

Posté par
larrech
re : L'ensemble des points M 07-03-22 à 21:33

Plus simplement, remarque que ton expression se factorise.

Posté par
pikozie
re : L'ensemble des points M 07-03-22 à 21:42

Si je fais apparaître X et Y ... J'ai

2(a-1/2)-(b-1)+2ab-2=0

Pour la factorisation, je ne sais pas comment m'y prendre

Posté par
larrech
re : L'ensemble des points M 07-03-22 à 21:43

Cette relation s'écrit aussi

2ab+2a-b-1=1 , et là le membre de gauche se factorise

Posté par
pikozie
re : L'ensemble des points M 07-03-22 à 21:48

Ah oui... Ainsi j'ai : (b+1)(2a-1)=1

Posté par
larrech
re : L'ensemble des points M 07-03-22 à 21:54

Voilà, qui s'écrit aussi

(b+1)(a-1/2)=1/2

et là, en faisant un changement d'axes Y=b+1, X=a-1/2 (je me suis trompé de signe tout à l'heure), on obtient une équation du type

XY=constante.

Posté par
pikozie
re : L'ensemble des points M 07-03-22 à 22:03

Oui ... Mais je ne sais pas comment je peux construire ce type de courbe, c'est la première fois que j'ai affaire à ce genre...


Merci

Posté par
larrech
re : L'ensemble des points M 07-03-22 à 22:14

Tu n'as jamais vu quelle était  par exemple la courbe représentative de la fonction x\mpasto1/x ?

Posté par
larrech
re : L'ensemble des points M 07-03-22 à 22:15

fonction x\mapsto1/x

Posté par
pikozie
re : L'ensemble des points M 07-03-22 à 22:21

Je peux faire ça...

Mais si c'est ce que je dois faire je ne vais pas utiliser XY

Je vais vais construire Cf de f(a)=[1/(2a-1)]-1

??

Posté par
larrech
re : L'ensemble des points M 07-03-22 à 22:30

Si tu veux si tu n'as pas encore vu la technique de changement d'axes  par translations.

Mais  dans le système d'axes (OX, OY) l'équation XY=Constante est celle d'une hyperbole équilatère ayant les axes de coordonnées pour asymptotes.

Posté par
pikozie
re : L'ensemble des points M 07-03-22 à 22:37

Ah d'accord...

Donc ici dans notre cas, les axes sont dans un repère orthonormé (O; i; j):
y=-1 et x=1/2

Je me demande dans quelle contexte il faut les prendre comme asymptote... En fait "la constante" servirait à quoi ?

Merci

Posté par
lake
re : L'ensemble des points M 07-03-22 à 22:41

Bonsoir à tous,

Je ne fais que passer mais d'un point de vue géométrique, on peut voir :

  en 1) une droite et en 2) un cercle. (éventuellement privés de certains points).

Comment peut-on en arriver à des hyperboles ?

Ou je me fourvoie complétement ?

Posté par
pikozie
re : L'ensemble des points M 07-03-22 à 22:48

Ah ... Là je suis complètement "en brousse"


Comment prouver que en 1/ on a une droite et un cercle en 2/ ??

Merci

Posté par
larrech
re : L'ensemble des points M 07-03-22 à 22:58

Les 2 droites que tu cites sont les asymptotes de l'hyperbole en question.

Dans le repère (Ox, Oy) l'équation est y=\dfrac{-2x+2}{2x-1}

Cela suffit pour caractériser la courbe (fonction homographique) et répondre à la question.

Posté par
lake
re : L'ensemble des points M 07-03-22 à 22:58

Mince ! je me suis effectivement fourvoyé
J'ai vu un rapport où il y avait un produit.
Désolé

Posté par
larrech
re : L'ensemble des points M 07-03-22 à 23:00

Moi aussi alors je suis en brousse.. Je m'éclipse, tout honteux si je me suis trompé.

Posté par
lake
re : L'ensemble des points M 07-03-22 à 23:03

Mais non larrech, regarde au dessus : je me suis lamentablement vautré !

Posté par
pikozie
re : L'ensemble des points M 07-03-22 à 23:05

lake évidemment... Ce sont des choses qui arrivent... Vous m'avez déjà aidez plus d'une fois et "très bien" ...

Il faut dire que vous êtes un pro en conique...

Si je ne demande pas trop : En quoi est-ce vous exercer ?

Posté par
pikozie
re : L'ensemble des points M 07-03-22 à 23:09

larrech @ 07-03-2022 à 22:58

Les 2 droites que tu cites sont les asymptotes de l'hyperbole en question.

Dans le repère (Ox, Oy) l'équation est y=\dfrac{-2x+2}{2x-1}

Cela suffit pour caractériser la courbe (fonction homographique) et répondre à la question.


Merci beaucoup larrech
Je pense que je peux m'en sortir pour le reste...

Posté par
larrech
re : L'ensemble des points M 07-03-22 à 23:12

Bonsoir lake,

Le plus drôle c'est que moi aussi au début j'avais "vu" un rapport et tout de suite introduit des z barre. Et puis, en regardant de plus près...

Posté par
lake
re : L'ensemble des points M 07-03-22 à 23:50

Bonsoir larrech,

Je suis confus.
Tu me dis "Et puis ..."
J'avais lu et relu le message initial de pikozie en y voyant un rapport et en pensant :

  "Tout de même, larrech n'est pas le premier venu. Que se passe-t-il ?"

La force de l'habitude (avec les rapports), mais aussi peut-être un début de sénilité, qui sait Je plaisante bien sûr ...

Venons-en à pikozie :
  

Citation :
Il faut dire que vous êtes un pro en conique...


Loin de là malheureux ou euse. Je me renseigne, c'est tout.
Et des vrais pros, il y en a une multitude sur l'

Citation :
Si je ne demande pas trop : En quoi est-ce vous exercez?


Je botte en touche : je suis en retraite; cela fait plus de 15 ans que je n'exerce plus rien du tout

Posté par
pikozie
re : L'ensemble des points M 08-03-22 à 00:35

lake dans ce cas vous êtes pro en renseignement.. je plaisante

Vous êtes en retraite d'accord

Merci beaucoup ... Bonne nuit !

Posté par
carpediem
re : L'ensemble des points M 08-03-22 à 09:27

pikozie @ 07-03-2022 à 21:23

1/ J'ai 2a - b + 2ab - 2 = 0
après avoir réduit et ordonné ne jamais oublier la double distributivité (ax + b) (cy + d) pour essayer de factoriser "à une constante près ...

tu retrouve ce même principe (il en découle) avec les trinome du second degré ax^2 + bx + c quand tu en cherches la forme canonique en essayant de le factoriser sous la forme (px + q)^2 + r (les deux facteurs sont ici égaux)


sans même faire un changement de variable quand on en arrive à
pikozie @ 07-03-2022 à 21:48

Ah oui... Ainsi j'ai : (b+1)(2a-1)=1
qui, écrit avec des x et des y (peut-être plus lisible), donne immédiatement :

y = \dfrac 1 {2x - 1} - 1 qui est la forme canonique d'une fonction homographique y = \dfrac {ax + b} {cx + d} dont la courbe représentative est une hyperbole ...

(avec les valeurs interdites à préciser bien sûr)

Posté par
larrech
re : L'ensemble des points M 08-03-22 à 09:40

Oui, déjà dit à 22h21 et confirmé, homographie comprise, à 22h58.

Par ailleurs, je pensais que la forme xy=k ferait "tilt" immédiatement, mais non.

Posté par
carpediem
re : L'ensemble des points M 08-03-22 à 10:24

certes ... mais j'aurai bien aimé poursuivre avec pikozie ... et lui montrer que les outils de collège suffisait pour obtenir la solution ...



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