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L'ensemble des réels : espace ouvert ou fermé ?

Posté par
giovedy
05-09-11 à 16:20

Bonjour,

je vous répète ma petite question : L'ensemble des réels est un espace ouvert ou fermé ?

Merci

Posté par
yoyodada
re : L'ensemble des réels : espace ouvert ou fermé ? 05-09-11 à 16:57

Bonjour,

Citation :
je vous répète ma petite question : L'ensemble des réels est un espace ouvert ou fermé ?


Le "ou" laisse supposer qu'un espace serait toujours soit ouvert, soit fermé.
Or il existe beaucoup d'espaces ni ouvert ni fermés, ou bien ouverts et fermés à la fois.

Pour répondre à ta question:

Lorsqu'on s'intéresse à la topologie de \mathbb{R}, eh bien \mathbb{R} est bien entendu un ouvert et un fermé de \mathbb{R}, par définition même d'une topologie.

Lorsqu'on considère \mathbb{R} comme une partie de \mathbb{C} muni de sa topologie usuelle, alors \mathbb{R} est fermé dans \mathbb{C} (mais pas ouvert).

Posté par
DOMOREA
L'ensemble des réels : espace ouvert ou fermé ? 05-09-11 à 17:04

Bonjour,
Pour la topologie classique de \mathbb{R} il est à la fois ouvert et fermé.
Si tu considère \mathsbb{R}\subset\mathsbb{R^2} Il est fermé pour la topologie classique de \mathsbb{R^2}

Posté par
alexre
Ouvert fermé. 05-09-11 à 17:23

Si une topologie est construite dans un espace E quelconque alors E et sont par définition des ouverts, leur complémentaire étant fermé (encore par définition), on en déduit que E est aussi fermé. De même pour E= .



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