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l'ensemble R et ses propriétés

Posté par
maths-rix 01-10-07 à 21:19

bonsoir

pouvez vous m'aider à résoudre cette exo svp (je m'entraine pour la colle de demain)

montrer que k*

5$\sqrt{k+1}-\sqrt{k} 5$\frac{1}{2\sqrt{k}5$\sqrt{k}-\sqrt{k-1}

y a t'il une méthode a suivre pour résoudre ce genre d'exo ? merci !

Posté par
smilre : l'ensemble R et ses propriétés 01-10-07 à 21:21

bonsoir
je dirais tout de suite "expression conjuguée"

Posté par
Eric1re : l'ensemble R et ses propriétés 01-10-07 à 21:22

bonjour

j'obterais pour l'expression conjuguée

Posté par
infophilere : l'ensemble R et ses propriétés 01-10-07 à 21:24

Bonsoir

\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\times \frac{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}

Et \forall k\in \mathbb{N}^{\ast}, \sqrt{k+1}\ge \sqrt{k}

Donc...

Posté par
infophilere : l'ensemble R et ses propriétés 01-10-07 à 21:24

Oups trop tard, bonsoir tout le monde

Posté par
smilre : l'ensemble R et ses propriétés 01-10-07 à 21:27

salut, les gars !!

Posté par
Eric1re : l'ensemble R et ses propriétés 01-10-07 à 21:30

salut tout le monde

Posté par
maths-rixre : l'ensemble R et ses propriétés 01-10-07 à 21:37

donc \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} 0 l\'ensemble R et ses propriétés

Posté par
Eric1re : l'ensemble R et ses propriétés 01-10-07 à 21:43

non, comme (k+1)>k, alors

(k+1)+k>2k

Posté par
maths-rixre : l'ensemble R et ses propriétés 01-10-07 à 21:53

ok j'ai pigé merci pour tout le monde l\'ensemble R et ses propriétésl\'ensemble R et ses propriétés

Posté par
maths-rixre : l'ensemble R et ses propriétés 01-10-07 à 22:02

heu....il me reste encore un petit problème :

En déduire la partie entière de : 5$S_n =\sum_{k=1}^{n^2} \frac{1}{2\sqrt{k}}

je me demande si cette somme s'écrit : 5$S_n = \frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+...+\frac{1}{2\sqrt{n^2}} ?

Posté par
Eric1re : l'ensemble R et ses propriétés 01-10-07 à 22:04

et bien oui

Posté par
Nightmarere : l'ensemble R et ses propriétés 01-10-07 à 22:04

Salut

3$\rm \Bigsum_{k=1}^{n^{2}} \sqrt{k+1}-\sqrt{k}\le S_{n}\le \Bigsum_{k=1}^{n^{2}} \sqrt{k}-\sqrt{k-1}
Tu as deux sommes telescopiques que tu peux simplifier, tu en déduis la partie entière.

Posté par
maths-rixre : l'ensemble R et ses propriétés 01-10-07 à 22:10

justement je cherché comment simplifier cette expression !

Posté par
Nightmarere : l'ensemble R et ses propriétés 01-10-07 à 22:10

Ben calcule la pour n=5 par exemple, tu vas voir quelque chose d'assez sympathique.

Posté par
Eric1re : l'ensemble R et ses propriétés 01-10-07 à 22:16

2-1+3-2+4-3+....n^2-(n^2-1)+(n^2+1)-n^2

Posté par
maths-rixre : l'ensemble R et ses propriétés 01-10-07 à 22:24

donc par simplification on aura : -\sqrt{1}+\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n^{2}-1}

Posté par
Eric1re : l'ensemble R et ses propriétés 01-10-07 à 22:27

non, car le (n^2-1) se simplifie également avec le terme précédent

Posté par
maths-rixre : l'ensemble R et ses propriétés 01-10-07 à 22:27

ou plutot -\sqrt{1}

Posté par
Eric1re : l'ensemble R et ses propriétés 01-10-07 à 22:28

il reste seulement
-1+(n^2+1)


et de l'autre côté

n-0

Posté par
maths-rixre : l'ensemble R et ses propriétés 01-10-07 à 22:31

et de l'autre il reste quoi ?

ce n'est pas \sqrt{n^2+1}

Posté par
Eric1re : l'ensemble R et ses propriétés 01-10-07 à 22:32

non, c'ets (n^2)-0=n

Posté par
maths-rixre : l'ensemble R et ses propriétés 01-10-07 à 22:37

ok donc on a -1+\sqrt{n^2+1}S_nn

donc pour trouver la partie entière de S_n on fait comment  :

E(-1+\sqrt{n^2+1})E(S_n)E(n) ?

Posté par
Eric1re : l'ensemble R et ses propriétés 01-10-07 à 22:39

oui, E(n)=n

Posté par
maths-rixre : l'ensemble R et ses propriétés 01-10-07 à 22:40

et donc ? je ne vois pas comment on peut déduire la partie entière de S_na partir de là !

Posté par
Eric1re : l'ensemble R et ses propriétés 01-10-07 à 22:46

n<(n^2+1)<(n^2+2n+1)=n+1

donc E((n^2+1)=n
E(-1+(n^2+1)=n-1

en fait les inégalités sont strictes, car
(n+1)>(n)

donc E(S(n))=n-1

Posté par
maths-rixre : l'ensemble R et ses propriétés 01-10-07 à 22:57

n < racine(n^2+1) < racine (n^2+2n+1) cet encadrement il sortd'où surtout racine (n^2+2n+1)? je comprends a quoi il sert mais je n'aurais jamais l'idée de faire comme ça !

Posté par
Eric1re : l'ensemble R et ses propriétés 01-10-07 à 22:59

n^2+2n+1=(n+1)^2

donc la racine ca fait bien n+1

Posté par
Eric1re : l'ensemble R et ses propriétés 01-10-07 à 23:00

C'est une partie entière, donc il faut l'encadrer entre deux entiers naturels

Posté par
maths-rixre : l'ensemble R et ses propriétés 01-10-07 à 23:03

ok merci pour l'aide ! bonne soirée !

Posté par jideph (invité)racine carrée dun irrationnel 01-10-07 à 23:58

slt pouvez vous m'aidez à résoudre cette question svp ça fait une 1/2 que j'essaie de trouver la solution mais j'arrive ps:
Montrer que la racine carrée d'un nombre irrationnel positif est un nombre irrationnel .
j'ai utilisé le raisonnement par l'absurde mais je suis bloquée

Posté par
maths-rixre : l'ensemble R et ses propriétés 02-10-07 à 19:03

pour la blague c'est exactement cette exo que j'ai eu en colle aujourd'hui ! j'ai bien fais de le faire avec vous merci encore une fois !

Posté par
smilre : l'ensemble R et ses propriétés 02-10-07 à 19:38

bien vu !!


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