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L'inverse d'une somme.

Posté par
Plop 06-08-11 à 11:47

Bonjour,

Quelqu'un pourrait me démontrer rigoureusement que l'inverse d'une somme n'est pas égale à la somme des inverses.

J'ai des cas particuliers, mais pour le démontrer, là, je n'sais comment m'y prendre.

P.S : Je n'sais si je poste à la bonne section.

Merci d'avance.

Posté par
numero10re : L'inverse d'une somme. 06-08-11 à 11:49

Salut,

Un contre exemple suffit à démontrer que c'est faux non?

Posté par
Plopre : L'inverse d'une somme. 06-08-11 à 12:26

Euh..oui mais ce n'est pas ce que j'désire. Ces derniers sont facilement trouvables mais ne font aucunement office de démonstration.

Posté par
Manu04re : L'inverse d'une somme. 06-08-11 à 12:31

Et bien si ...

Posté par
mdr_nonre : L'inverse d'une somme. 06-08-11 à 12:31

bonjour

Citation :
mais ne font aucunement office de démonstration.

et bien si justement ... pourquoi tu penses ça du  " contre-exemple "  ?

Posté par
jonjon71re : L'inverse d'une somme. 06-08-11 à 12:33

Pourtant pour montrer qu'une affirmation est fausse, il suffit de trouver un exemple (et un seul) qui contredit cette affirmation. Et cela est une démonstration!

Donc est-ce que l'inverse d'une somme est égale à la somme des inverses ?

Prenons a=2 et b=3 :

1/(a+b) = 1/(2+3) = 1/5
1/a + 1/b = 1/2 + 1/3 = 5/6 qui n'est pas égal à 1/5

Donc l'inverse d'une somme n'est pas égale à la somme des inverse.

Voilà !

Posté par
Plopre : L'inverse d'une somme. 06-08-11 à 12:49

Ok. Mais j'ai envie de l'montrer pour X et Y quelconques non nuls. Le prouver de manière générale et non avec de simples contre-exemples avec a et b choisis.

Ainsi, je pense qu'il faut partir de deux nombres x et y non nuls.

L'inverse de x est 1/x et l'inverse de y est 1/y

Donc la somme des inverses de x et de y s'écrit :

1/x + 1/y

On met les fractions au même dénominateur pour pouvoir les additionner :

1/x + 1/y = (1*y)/(x*y) + (1*x)/(y*x)

On effectue le calcul :

1/x + 1/y = (1*y)/(x*y) + (1*x)/(y*x) = y/(xy) + x/(xy) = (y+x)/(x*y)

Je n'sais pas si je suis sur la bonne piste...

Posté par
mdr_nonre : L'inverse d'une somme. 06-08-11 à 13:03

oui

mais fait directement le calcul    1/x + 1/y - 1/(x + y)

il te suffit  de démontrer que c'est différent de zéro quelque soit x et y non nul

Posté par
numero10re : L'inverse d'une somme. 06-08-11 à 13:04

Déjà , il faut commencer par préciser que x et y doivent être différents de 0.

Ensuite , en supposant que x+y=1/x + 1/y cela équivaut à xy=1 en clair on voit que l'égalité n'est vérifiée que pour des valeurs particulières et pour moi ça revient au même qu'un contre exemple.

Posté par
mdr_nonre : L'inverse d'une somme. 06-08-11 à 13:11

(et aussi  x + y 0)

Posté par
Plopre : L'inverse d'une somme. 06-08-11 à 15:03

J'ai suivi ce que m'a préconisé mdr_non, voila ce que ça donne...

Soit x et y deux nombres non nuls.

E =[1/x + 1/y]  - 1/(x+y) \\ \\ = [ (1*y)/(x*y) + (1*x)/(y*x)] - 1/(x+y) \\ \\ =[y/(xy) + x/(xy)] - 1/(x+y) \\ \\ =[ (y+x) / ( xy ) ] - 1/(x+y) \\ \\ =[ (y+x)*(x+y) - ( x*y ) ] / [ ( x*y ) * (x+y ) ] \\ \\ = [2(x+y) - ( x*y)] / [( x*y) *( x+y )]

Comment conclure ?

Avez-vous des valeurs pour y et x avec lesquelles l'équivalence est vraie ?

Merci pour votre aide !

Posté par
mdr_nonre : L'inverse d'une somme. 06-08-11 à 15:11

une erreur à la dernière ligne

(x + y)(y - x) - xy = (x + y)² - xy = x² + y² + xy


si y un réel fixé,  ce second degré d'inconnue x  a t-il une racine ?

et pour x fixé, ce second degré d'inconnue y  a t-il une racine  ?

oui ?  donc ça voudrait dire qu'il existe une valeur de x  tel que  E = 0  (soit l'inverse somme = somme inverse )

non ? donc ça voudrait dire que  E ne s'annule jamais, par conséquent  (inverse somme différent de somme inverse )

Posté par
mdr_nonre : L'inverse d'une somme. 06-08-11 à 15:12

(x + y)(y + x) - xy = (x + y)² - xy = x² + y² + xy

Posté par
Plopre : L'inverse d'une somme. 06-08-11 à 15:44

E =[1/x + 1/y]  - 1/(x+y) \\ \\ = [ (1*y)/(x*y) + (1*x)/(y*x)] - 1/(x+y) \\ \\ =[y/(xy) + x/(xy)] - 1/(x+y) \\ \\ =[ (y+x) / ( xy ) ] - 1/(x+y) \\ \\ =[ (y+x)*(x+y) - ( x*y ) ] / [ ( x*y ) * (x+y ) ] \\ \\ =[ (x + y)(y - x) - xy] / [ ( x*y ) * (x+y ) ] \\ \\ = [(x + y)² - xy] / [ ( x*y ) * (x+y ) ] \\ \\ =[ x² + y² + xy] / [ ( x*y ) * (x+y ) ] \\ \\ = [ 4x²+4xy+4y² ] / [ ( x*y ) * (x+y ) ] \\ \\ = (2x+y)²+3y² / [ ( x*y ) * (x+y ) ]

Et là, je conclus ?

Posté par
mdr_nonre : L'inverse d'une somme. 06-08-11 à 19:51

regarde tes 3 dernières lignes . elles ne sont pas égales ..!

corrige ..

pour faire des fractions avec latex,    \frac{numérateur}{dénominateur}

Posté par
lolo271re : L'inverse d'une somme. 06-08-11 à 20:39

Bonsoir,

On ne peut pas s'en sortir ainsi :

Supposons  x,y, x+y  non nuls tels que  1/x + 1/y = 1/(x+y)  

si  x >0  alors  1/(x+y) < 1/y   d'où  x <0  absurde ....je n'ai pas regardé les autres cas .

Posté par
lolo271re : L'inverse d'une somme. 06-08-11 à 20:40

l'énoncé de départ est mal formulé tu veux que POUR TOUT x et y  etc....

Posté par
boubis2Re: l'inverse d'une somme 07-08-11 à 22:33

Bonsoir

Questions: on est dans ou dans ??

Dans c'est valable et démontrable:

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x+y}

\frac{x+y}{xy} = \frac{1}{x+y}, (vu que x0, y0 et x+y0 donc ça va)

\frac{(x+y)^2}{xy(x+y)} = \frac{xy}{xy(x+y)}

(x+y)^2-xy=0

En fixant y quelconque dans l'équation du second dégré en x

(E): x^2 + yx + y^2 = 0 n'admet aucune solution x dans (discriminant négativeDelta = -3y^2 < 0 \forall y \in R*)

donc l'équation \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x+y} n'admet aucune solution (x,y) sur


Par contre dans les solutions (x,y) existe bel et bien et sont lié par:

x= (\frac{-1+i \sqrt(3)}{2})y ou x= (\frac{-1-i \sqrt(3)}{2})y ici j'ai pris le cas de y>0 à titre de  vérification

Alor par exemple pour y=1 on a x= \frac{(-1+i \sqrt(3))}{2}

et on vérifie bien que \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x+y}

Preuve:
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x+y} = 1 + \frac{-1+i \sqrt(3)}{2} = \frac{-1+i \sqrt(3)}{2} = \frac{1+i\sqrt(3)}{-1+i\sqrt(3)} = \frac{2}{1+i\sqrt(3)}
et de même
\frac{1}{x+y}  = \frac{1}{1+\frac{-1+i \sqrt(3)}{2}}  = \frac{2}{1+i\sqrt(3)}

Posté par
mdr_nonre : L'inverse d'une somme. 08-08-11 à 08:01

Citation :
Dans c'est valable et démontrable:


non, c'est valable et démontrable pour:

(x , y) (0 , 0) ET x + y 0

faut l'expliciter dès le début de ta démo .

sinon oui la démonstration après est bonne (sauf les erreurs sur les contraintes sur x et y ! )..

----------------------------------------------------

dans c'est valable et démontrable pour

(x , y) (0 , 0) ET x + y 0  (aussi)  

"condition pour que les quotients existe.."

les solutions sont bien ça ...

\huge \forall   \left\{\begin{matrix}(x , y) &\neq& (0 , 0) \\ x + y &\neq& 0\end{matrix}\right.  ,  \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x + y}   \Leftrightarrow  {\red \boxed{\begin{matrix}x &=& e^{\frac{2}{3}i.\pi}.y \\ x &=& e^{-\frac{2}{3}i.\pi}.y\end{matrix}}}


il y a l'équivalence (y a pas besoin de faire de vérification ...)

--------------------------------------------------

vérification :

\LARGE \boxed{*}  x = e^{\frac{2}{3}i.\pi}.y  \Rightarrow  \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{e^{\frac{2}{3}i.\pi}.y} + \frac{1}{y} = \frac{1 + e^{\frac{2}{3}i.\pi}}{e^{\frac{2}{3}i.\pi}y} = \frac{e^{\frac{1}{3}i.\pi}}{e^{\frac{2}{3}i.\pi}.y} = \boxed{\frac{e^{-\frac{1}{3}i.\pi}}{y}} \\ \\ \boxed{*}  x = e^{\frac{2}{3}i.\pi}.y  \Rightarrow  \frac{1}{x + y} = \frac{1}{y\left( e^{\frac{2}{3}i.\pi} + 1 \right)} = \frac{1}{e^{\frac{1}{3}i.\pi}.y} = \boxed{\frac{e^{-\frac{1}{3}i.\pi}}{y}} \\ \\ \\ DONC  x = e^{\frac{2}{3}i.\pi}.y  \Rightarrow  \boxed{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x + y} = \frac{e^{-\frac{1}{3}i.\pi}}{y}} \\ \\ {\rm analogie}  x = e^{-\frac{2}{3}i.\pi}.y  \Rightarrow  \boxed{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x + y} = \frac{e^{\frac{1}{3}i.\pi}}{y}}

Posté par
mdr_nonre : L'inverse d'une somme. 08-08-11 à 08:21

par contre, y a pas besoin de prendre y > 0 ... faut juste qu'il soit différent de 0 ..

ensuite dans ta preuve, tu ne peux pas commencer une preuve en affirmant dès le début ce que tu veux justement prouver !

(la forme exponentielle est quand même bien pratique ici..)

Posté par
boubis2Re : inverse d'une somme 08-08-11 à 10:58

Bonjour

merci pour la remarque.

Si j'ai bien compris l'énoncé de départ, Plop voulais qu'on demontre que l'inverse d'une somme N'EST PAS la somme des inverses et celà pour TOUS X et Y QUELCONQUES non nul. Alor l'objet de ma demonstration était de MONTRER que QUE DEJA CETTE ENONCE N'EST PAS VRAIE dans mais SEULEMENT sur . C'est pourquoi j'ai pris juste un cas dans .

C'était juste pour un contre exemple donc j'ai suposé y>0 pour fuir la valeur absolu et montrer UN cas particulier qui contredit la loi (1/x+1/y1/(x+y) x,y tous non nuls) sur (en fait dans le calcul du idscriminant vu que c'est -3y2 j'aurais une valeur absolu en réduisant c'est:

x=(1+i3)/2)|y| ou x=(1+i3)/2)|y|.
je me suis donc dis que pour un contre exemple c'est pas la peine de se casser la tête à vouloir voir tous les cas  donc juste enlever la valeur absolue (donc supposer le cas y>0) simplement.

Mais un seul point me bloque dans votre remarque.

Citation :
(x , y)(0 , 0) ET x + y0  (aussi)
"condition pour que les quotients existe.."


Etes vous sur que c'est valable pour (x,y) # (0,0) ET x+y0 toujours??
Car si oui alors pour x = 0, et y # 0 (ou vice versa) ce serais vrai dans ce cas si j'ai bien compris votre hypothèse.
Or Les couple (0,y) pour y0 et (x,0) pour x0 sont tous différent de (0,0) et vérifient également x+y0  
pourtant l'écriture 1/x + 1/y n'est même pas définie dans ces deux cas vu que l'un des termes de dénominateur serait nul.

Donc je crois plutot que les contraintes x#0, x#0 et x+y#0 repondent bien ici

Posté par
mdr_nonre : L'inverse d'une somme. 08-08-11 à 11:33

c'est moi qui me suis trompé , les contraintes sont

x 0 ET y 0 ET x + y 0


je me suis encore trompé !

effectivement ,  i\sqrt{3y^2} = i|y|\sqrt{3}

-----------------------------------



il y a une confusion dans ton message



tu as démontré que   1/x + 1/y 1/(x + y)   QUELQUE SOIT LES REELS x ET y  (+ contraintes)  DANS

-------------------------------------------------
ET
-------------------------------------------------
tu as démontré que   1/x + 1/y = 1/(x + y)     est  VALABLE dans    pour  x = e^....y
(on est plus dans , mais dans )


donc
ton énoncé (somme inverse = inverse somme) n'est pas vrai dans   mais vrai dans ..


et pour le contre exemple (qui avait été donné plus haut), c'est une démonstration que ton énoncé est faux dans      (pas )

Posté par
Plopre : L'inverse d'une somme. 08-08-11 à 12:50

Merci pour vos contributions !

Quand on a par exemple " a = b +c <=> 1 /a = (1 /b ) + (1/c) ". Cette équivalence n'est pas vraie. Mais ici, pourrait-on la justifier par les démonstrations précédentes ?  

Si c'est le cas, on pourrait donc dire " Cette équivalence est fausse car l'inverse d'une somme n'est pas égale à la somme des inverses." Or  l'égalité de droite, n'est à ce que je sache, ni une somme d'inverse, ni l'inverse d'une somme mmh...

Posté par
mdr_nonre : L'inverse d'une somme. 08-08-11 à 12:54

a + b   est une somme

1/(a + b)  est l'inverse d'une somme


1/a + 1/b  est la somme des inverses (de a et b)


l'énoncé était :    l'inverse d'une somme est elle égale à la somme des inverses ?  soit  1/a + 1/b = 1/(a + b) ?


la réponse  :  non dans ; oui dans ..

Posté par
Plopre : L'inverse d'une somme. 08-08-11 à 13:00

Au temps pour moi, je me suis trompé dans mon précedent message.

Je voulais écrire " Or  l'égalité de GAUCHE , n'est, à ce que je sache, ni une somme d'inverses, ni l'inverse d'une somme mmh..."

Lorsqu'on a " a = b +c <=> 1 /a = (1/b) + (1/c) "...dans R cette équivalence est fausse. Mais comment le justifier ? Parce qu'en effet, on n'pourrait pas écrire : " Cette équivalence est fausse car l'inverse d'une somme n'est pas égale à la somme des inverse" dans la mesure où " A = B + C " n'est ni une somme d'inverses, ni l'inverse d'une somme.

Suis-je clair ?

Posté par
Porcepicre : L'inverse d'une somme. 08-08-11 à 13:35

Citation :
l'énoncé était :    l'inverse d'une somme est elle égale à la somme des inverses ?  soit  1/a + 1/b = 1/(a + b) ?
la réponse  :  non dans \mathbb{R} ; oui dans \mathbb{C} ..

Ah bon, c'est vraiment ce qui a été montré sur ce sujet ?

Pour Plop, dans ton équivalence, l'implication droite => gauche est vraie (puisque le point de départ est un truc faux), en revanche l'implication gauche => droite est fausse.
Et pour cela, bah il suffit d'exhiber un contre-exemple. Par exemple 2 = 1 + 1 et pourtant 1/2 n'est pas égal à 1+1...

Autant au début, on peut se dire OK, ça a un sens d'essayer de vouloir montrer que c'est faux pour tout couple de réels, autant là ça n'a plus de sens. Une équivalence, ça marche tout le temps ou ça ne marche pas. Pas juste dans certains cas... ou alors tu rajoutes une condition dans la proposition de gauche, mais dans ce cas-là ce n'est plus la même équivalence...

Posté par
boubis2Re: l'inverse d'une somme 08-08-11 à 20:33

L'objet de ma demonstration c'est que 1/x + 1/y 1/(x + y) est valable dans mais pas dans .
Ce n'est pas:

Citation :
tu as démontré que   1/x + 1/y = 1/(x + y)     est  VALABLE dans   pour  x = e^....y
J'ai pris le cas contraire (l'égalité) pour aboutir à une IMPOSSIBILITE dans et donc prouver que l'énoncé de Plop est VALABLE dans MAIS PAS dans . Rapellons que l'énoncé (pas le mien mais celui de Plop que j'ai utilisé) est 1/x + 1/y 1/(x+y).
Citation :
Questions: on est dans  ou dans ??


Merci pour cette remarque en effet je vois le point qui a semé la zizanie
Citation :
Dans  c'est valable et démontrable:
1/x + 1/y = 1/(x+y)
Ici je ne voulais pas dire que c'est 1/x +1/y = 1/(x+y) qui est valable dans mais plutot 1/x +1/y 1/(x+y). Je devais écrite SUPPSONS QUE 1/x +1/y = 1/(x+y)
Et c'est cette phrase en moins qui a changé le sens de mon affirmation
Citation :
Dans  c'est valable et démontrable:
1/x + 1/y = 1/(x+y)

Merci mdr_non

je n'avais pas bien compris.
Citation :
on est plus dans mais dans )

C'est justement pourquoi avant de demarer j'ai posé la question si Plop a posé SON ENONCE dans ou dans .


Citation :
et pour le contre exemple (qui avait été donné plus haut), c'est une démonstration que ton énoncé est faux dans (pas )

Je souligne que mon énoncé N'EST donc PAS 1/x + 1/y = 1/(x+y). Mais plutot CELUI DE Plop.

Posté par
lolo271re : L'inverse d'une somme. 09-08-11 à 17:54

et dans les corps fini c'est bon ?  


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