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l'inversion complexe

Posté par
gallile
21-01-11 à 15:58

bonjour a tous voila j'ai un DM pour lundi seulement il y a beaucoup de chose que je ne suis pas arrivé a faire voici l'énoncé :
Le plan supposé rapporté est un repère orthonormal (O;i;j). Si M est un point du plan d'affixe z différents de 0, on appelle l'inverse complexe de ce point, le point M' d'affixe z' = 1/z
La transformation du plan privé de O dans lui même qui a tout point associe son inverse complexe' est appelé inversion complexe noté I.
1 déterminer les coordonnées cartésiennes de M' en fonction de celle de M
2 déterminer les coordonnées polaires de M' en fonction de celle de M
3 on pose P*=le plan privé de o si M et M sont 2 point de P* montrer que M'=I(M)M=I(M')
4 on désigne par E un ensemble de pt du plan par E' son image par I.
on a donc E'={M'/il existe M tq ME et M'=I(M)} monter que M'E'I(M')E
5 si E et F sont 2 ensemble montrer que F=I(E) E=I(F)
6 quel est l'image du demi plan d'équation y>0 par I
7 soit C le cercle de centre O et de rayon r
a utilisé geoplan pour conjecturer l'image de C par I
b prouver le résultat
8 Soit D* une droite passant par O mais privé de O
a utilisé geoplan pour conjecturer l'image de D* par I
b prouver le résultat
9 soit C un cercle passant pas O de centre [] et C* ce cercle privé de O
a utilisé geoplan pour conjecturer l'image de C* par I
b montre ke |z-|=|||1/-1/z|=|1/z|
c en déduire que l'image de C* par I est la médiatrice de [O'] ou '=I()

10 on considère une droite D ne passant pas par O et on désigne par A le projeté orthogonal de Osur D d'affixe a on désigne A' l'image de A par I .
a utilisé geoplan pour conjecturer l'image de D par I
b prouver le résultat
c définir l'image de la droite d'eq x=a dans le repéré
d On considére un point M de O. En remarquant que ce point M est l'intersection de la droit (OM), de l'un des deux demi plan y>0 ou y<0 et de la droite d'équation x = xm et en utilisant les résultat précédent donner une construction géométrique de m

Posté par
gallile
re : l'inversion complexe 21-01-11 à 16:05

alors voila pour la 1 j'ai
z = x+yi
x et y étant les coordonnés cartésiennes je pose donc z = x+yi donc :
z'= 1/(x+yi)= (x-yi)/(x²+y²)
donc les coordonné cartésiennes de M' sont x'=x/(x²+y²)et y' = -y/(y²+x²)

2 apres M a pour coordonnés polaires [r;]
donc M' a pour coordonné polaires [1/r;-]

3 M'=I(M) z' = 1/z z=1/z'

                                       M = I(M')
4 pour la 4 j'ai l'impression de prouver la même chose que au dessus

Posté par
gallile
re : l'inversion complexe 21-01-11 à 17:48

alors quelqu'un peut m'aider ?

Posté par
gallile
re : l'inversion complexe 21-01-11 à 20:52

s'il vous plait

Posté par
mdr_non
re : l'inversion complexe 21-01-11 à 21:13

bonsoir

I ; M(z) M'(z' = 1/z)

1) ok

2) non
I : M(z = r[cos(a) + i.sin(a)] M'(z' = 1/z = 1/( r[cos(a) + i.sin(a)] ) = ???)

Posté par
mdr_non
re : l'inversion complexe 21-01-11 à 21:19

si tu as vu la forme exponentielle c'est PLUS rapide:

5$ \textrm I : M(z = r.e^{i\theta}) \mapsto M^'\(z' = \frac{1}{z} = \frac{1}{r.e^{i\theta}} = ?? \)

Posté par
frankot
re : l'inversion complexe 21-01-11 à 23:21

Bonsoir.
Le 2 est correct.
si z=reî alors 1/z=(1/r)e^-i.

Posté par
mdr_non
re : l'inversion complexe 22-01-11 à 05:05

, oui c'est vrai... j'avais loupé le (-) devant son

_______________

3) ok

4) I(E) = E'
E' = peux tu réécrire ça comme il faut (comme tu l'as devant toi)....

pour montrer, il faudra utiliser la question précédente; (tu ne montre pas le même truc, dans cette question , on parle d'ensemble..)

M' = I(M) M = I(M')

M' E' M E (si j'ai bien lu l'ensemble)
lien avec la question précédente

Posté par
gallile
re : l'inversion complexe 22-01-11 à 12:24

c'est comme sa que c'est écrit sur ma feuille :/
voila ce que j'aurai pensée :
M' E' or M'=I(M)
M=I(M') selon 3 de plus ME
I(M')E

Posté par
frankot
re : l'inversion complexe 22-01-11 à 20:31

Bonjour.
Tu peux remarquer que l'application I est bijective de P* dans P*.
lol=id ( l^-1=l).

Posté par
gallile
re : l'inversion complexe 23-01-11 à 13:57

trop dure pour moi ^^ . Est-ce que ma solution marche?
si non auriez vous une piste pour la question suivant je n'arrive pas à la démaré

Posté par
gallile
re : l'inversion complexe 23-01-11 à 19:53

???



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