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l'unicité de la valeur d'adhérence d'une suite
Bonjour,l'objectif de ce topic est de comprendre la démonstration du théorème suivant:
Soient une suite de réels bornée et a un réel.
Si la suite admet une unique valeur d'adhérence a,alors la suite converge vers a.
Voici la preuve : On suppose que la suite est a valeurs dans
,bornée et admet le réel a comme unique valeur d'adhérence .
On suppose que la suite ne converge pas vers a,soit:
ainsi l'ensemble {
} est infinie.(jusqu'a la je comprend,c'est la suite qui pose probléme)Ainsi il
f une fonction de
dans
strictement croissante telle que:
(qu'est ce qui assure l'existence d'une telle fonction?).
La suite est bornée(comment le sait t'on qu'elle est bornée?),donc elle admet une suite extraite convergente,donc il existe g de
dans
strictement croissante et un réel s telle que la suite
converge vers le réel s(là aussi je ne comprend pas pourquoi c'est la suite
qui converge vers s et non
).
Comme (d'ou découle cette inégalité?) en faisant tendre n vers +
on obtient donc s est différent de a,et donc la suite
a au moins deux valeurs d'adhérence ce qui contredit l'hypothése faite en début.
Hello,
l'ensemble A est un ensemble infini d'entiers qu'on peut ranger dans l'ordre croissant. f est alors la fonction qui à n associe le n-ème de ces entiers.
La suite u(f(n)) est bornée car u(n) l'est, donc toute ses sous-suites aussi.
Concernant le fait que u(gof(n)) converge, c'est le théorème de Bolzano-Weierstrass : Toute suite bornée admet une sous-suite convergente. Or ici, notre suite c'est u(f(n)) et ses sous-suites sont bien de la forme u(gof(n)).
L'inégalité avec u(gof(n)) découle du fait que l'inégalité est vraie pour la suite u(f(n)) donc vraie pour toutes ses sous-suites, dont u(gof(n)).
peut on montrer que si une inégalité est vraie pour une suite alors elle est également vraie pour
?cela semble vraie mais y'a t'il un moyen de le montrer,(idem pour le fait que
est bornée donc
l'est également)
salut
ne converge pa vers
veut dire qu'on peut trouver un voisnage de
excluant un nombre infini de terme de
formant ainsi un ensemble infini borne donc ayant un point d'accumulation evidment autre que
Bonjour,
en gros l'idée est de prendre une sous suite qui est loin de ta valeur d'adhérence. Ensuite, tu sais que cette sous suite admet aussi une sous suite convergente. Comme tu t'es débrouillé pour être loin du point d'adhérence de départ, tu viens d'en obtenir un qui était différent du premier, ce qui est contradictoire.
Ça c'est l'idée de la preuve. Le reste c'est de l'écriture.
Bonjour,
tu poses la question : "peut on montrer que si une inégalité est vraie pour une suite un alors elle est également vraie pour uf(n) ?
les f(n) sont des entiers, donc les uf(n) sont justes des valeurs particulières de ta suite, donc oui .
MAIS ta question n'est pas ce qui permet de comprendre l'étape de l'exercice.
tu part de : Il existe b tel que quelquesoit N , il existe n >N tel que l un -a l > b **
et tu dois CONSTRUITE l'application f vérifiant ta condition.
Par exemple pour f(0) tu va prendre n'importe quel entier k(0) tel que l uk(0) -a l > b , f(0) = k(0) en voilà un de pris.
Pour f(1) comme tu veux que f soit croissante tu veux f(1) > f(0) , grâce à ** avec N = k(0) tu sais qu'il existe n > k(0) tel que tu as ton inégalité, ce n on va l'appeler k(1) = f(1) et ainsi de suite.... c'est clair ?
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