Je pense qu'il manque un ou deux mots et qu'ils veulent te faire montrer qu'il s'agit d'une loi de groupe

Ca dépend du sujet en fait. Ca peut être une loi de groupe, ou de monoïde (donc associative quand même), ou de magma

Bonsoir,

je pense comme Ulmiere le post s'inscrit dans un exercice sur les groupes puisqu'il est classé dans la catégorie 'algèbre'. Sans plus de précisions, une loi sur un ensemble E c'est juste une application de E E E et ici E = l'ensemble des translations d'un espace affine, donc le corrigé est complet (pas besoin de parler de groupes il me semble, hésitez pas à me corriger).

Bonne soirée

oui effectivement

l'exercice  c'est :
montrer que l'ensemble des translations  d'un espace affine muni de la composition  a une structure de groupe commutatif

dans le corrige c'est écrit qu'il faut vérifier 5 conditions definissant un groupe commutatif:
1)que la composition définit une loi
2) l'associativité de la composition
3)que la loi de composition est commutative
4)le neutre pour la composition
5)l'inverse pour la composition

Je sais montrer 2,3,4 et 5
Mais je ne comprends pas le 1),  que signifie  vérifier que la composition "définit une loi" ?

Merci

Je l'ai écrit dans mon message. On s'assure que la composition de translation est une translation.

"(...) de translations"

Bonsoir,
Avec un contre exemple, ce sera peut-être plus clair :
Si l'on considère l'ensemble des homothéties d'un plan affine, la composition n'y définit pas une loi.
La composée de deux homothéties peut ne pas être une homothétie.

PS A mon époque, on aurait parlé de loi interne, ou plutôt de loi de composition interne. Mais le mot composition est alors à double sens dans ce contexte.
Mieux : une opération binaire par laquelle l'ensemble des translations est stable.