1)a) 243= 11*22+1

   b) 3^5k+r3^r [11] ?
        
3^5k*3^r=(3⁽)^k*3^r=1^k*3^r3^r [11]

Donc, 3^5k+r3^r [11] .

  c) 3^5k+rr 4

Quand r=0:

3ⁿ=3^5k+0=1^k*3⁰ 1[11]

Quand r=1:

3ⁿ=3^5k+1=1^k*3¹ 3[11]

Quand r=2 :

3ⁿ=3^5k+2=1^k*3² 9[11]

Quand r=3 :

3ⁿ=3^5k+3=1^k*3³ 5[11]

Quand r=4 :

3ⁿ=3^5k+4=1^k*3⁴ 4[11]

Je peux conclure que  3ⁿ est congrue à 1 , 3 , 9 , 5 ou 4 modulo 11 .

  d) 80¹⁷⁸⁹ .... [11]
        802[11]
       80¹⁷⁸⁹ 3¹⁷⁸⁹ [11]
       1789= 5*358+4
      Donc , le reste chercher vaut 4 car 3¹⁷⁸⁹4 [11]

Pour la 2 je ne sais pas quoi faire .

Beaux progrès dans la présentation
1)a)b)etc) : c'est tout bon.
Des coquilles dans d) :
80 n'est pas congru à 2 mais 3 modulo 11.
1789 n'est pas égal à 5*358+4.

Je vais regarder 2).

Pour 2) :
Si r est le reste dans la division euclidienne de n par 5 alors
n = 5q+r avec r = 0, 1 ou 2.
3ⁿ⁺³ = 3^5q+r+3

Regarder les trois cas doit permettre de conclure.

1) d) 1789=5*357+4

On peut commencer par démontrer que 3^5q+r+3 3^r+3 [11].

Je ne vais plus être disponible avant demain ; mais tu es bien parti

2) 3^5q+r+3=(3⁵)^q*3^r+3=1*3^r+33^r+3 [11]

Quand r=0 :

3⁰⁺³=3³5 [11]

Quand r=1:

3¹⁺³=3⁴4 [11]

Quand r=2:

3²⁺³=3⁵1 [11]

Je peux conclure que  3ⁿ⁺³ est congrue à 5,4 ou 1 modulo 11 .
Les entiers n vérifiant : 3ⁿ⁺³1[11] sont les entiers dont leur reste vaut 2 par la division euclidien par 5.

Bonne Nuit

Bon réveil et début de vacances
C'est tout bon et clair !

Bonjour

Merci , il y a une chose que je dois amélioré c'est la rédaction .

Bonne vacance Madame !

A bientôt sur .

"il y a une chose que je dois améliorer c'est la rédaction et l'orthographe
Pour la rédaction, je trouve que tu as déjà bien progressé.
C'est important, car ça oblige à clarifier ses idées.

Merci