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Niveau seconde
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La datation par carbone 14 (partie 1)

Posté par
Gryfo 14-10-11 à 23:58

Un DM que j'ai a faire. C'est un mixte entre la physique/chimie, la SVT et les maths. Ça parle de la datation par carbone 14. J'ai un peu de mal à comprendre tout ça, c'est pourquoi j'aimerais que vous me corrigiez

Donc l'énoncé global étant assez long (3 pages), j'ai décidé de diviser le DM en 3 parties, à raison d'une page par partie (quelle logique incroyable). Voila, bon, je vous balance l'énoncé

ÉNONCÉ
La datation au carbone 14 est basée sur la mesure de l'activité radiologique du carbone 14 contenu dans toute matière organique. Elle permet de déterminer l'intervalle de temps écoulé depuis la mort de l'organisme à dater (l'abattage de l'arbre par exemple).

Le carbone 14 (C14) ou radiocarbone est un isotope radioactif du carbone dont la période radioactive (ou demi-vie) est égale à 5730 ans : la quantité de C14 présente est divisée par 2 tous les 5730 ans. Un organisme vivant assimile le carbone sans distinction isotopique, la proportion de C14 par rapport au carbone total (C12, C13 et C14) étant la même que celle existant dans l'atmosphère du moment. La datation par carbone 14 se fonde ainsi sur la présence, dans tout organisme vivant, de radiocarbone en infime proportion (de l'ordre de 10-12 pour le rapport \dfrac{C^{14}}{C} total). A partir de l'instant où meurt un organisme, les échanges avec l'extérieur cessant, la quantité de radiocarbone qu'il contient décroît au cours du temps selon une loi exponentielle connue (désintégration naturelle des atomes de carbone 14). Un échantillon de matière organique de cet organisme peut donc être daté en mesurant le rapport \dfrac{C^{14}}{C}.

1) Le taux de carbone 14 est-il constant (approximativement) pendant la vie de l'organisme ? Après sa mort ?
2) Qu'est-ce que la période de demi-vie ?
3) A combien est évalué le rapport \dfrac{C^{14}}{C} d'un organisme vivant ?
4) On suppose qu'un élément organique vivant contient 10kg de carbone (C) : évaluez le poids du carbone 14 en microgramme.
5) Cet élément organique meurt : au bout de combien d'années le poids du carbone 14 aura été divisé par 2 ? Par 4 ? Par 8 ?... Et par 3 ? Par 5 ?

MES RÉPONSES
1) Pendant la vie de l'organisme, le taux de C14 est à peu près constant, des échanges avec l'extérieur ayant lieu. Mais à partir du moment où cet organisme meurt, ces échanges cessent, donc le taux de C14 va diminuer progressivement, il n'est donc plus constant.

2) La période de demi-vie est le temps que met le taux de C14 présent dans un organisme pour se diviser par 2 (soit 5730 ans).

3) Le rapport \dfrac{C^{14}}{C} d'un organisme vivant est évalué à environ 10-12.

4) Commençons par tout mettre dans la même unité, soit en µg. Il faut donc convertir 10kg en µg :

- On sait que 1g = 106µg, que 1kg = 103g et que 10kg = 101kg.
- Donc 10kg=10^6\times10^3\times10^1=10^{6+3+1}=10^{10}µg.

Maintenant, calculons le poids du C14. On sait que \dfrac{C^{14}}{C}=10^{-12} et qu'il y a 1010µg de carbone. Donc :

\dfrac{C^{14}}{10^{10}}=10^{-12} \\ \\ C^{14}=10^{10}\times10^{-12} \\ \boxed{C^{14}=10^{-2}µg}

5) On sait qu'en 5730 ans, le poids de C14 est divisé par deux. Cela va donc mettre 2 fois plus de temps pour qu'il soit divisé par 4 : 5730\times2=11460 ans. Et encore une fois deux fois plus de temps pour qu'il soit divisé par 8 : 11460\times2=22920 ans.

Maintenant pour trouver avec 3 et 5, c'est plus compliqué. J'ai essayé de tirer une formule générale.

Il faut en fait faire le calcul : 5730\times\dfrac{n}{2}. n est le nombre de fois où le poids doit être divisé.

Et ça marche : avec 4 par exemple : 5730\times\frac{4}{2}=5730\times2=11460.
Avec 8 : 5730\times\dfrac{8}{2}=5730\times4=22920.
Maintenant avec 3 : 5730\times\dfrac{3}{2}=5730\times1,5=8595.
Et enfin avec 5 : 5730\times\dfrac{5}{2}=5730\times2,5=14325.

En résumé :

\boxed{Par 2  5730 ans.} \\ \boxed{Par 4 : 11460 ans.} \\ \boxed{Par 8 : 22920 ans.} \\ \boxed{Par 3 : 8595 ans.} \\ \boxed{Par 5 : 14325 ans.}

CONCLUSION
En conclusion, je pense ne pas avoir trop mal répondu aux 4 premières questions, mais c'st surtout à la dernière que j'ai un gros doute. Je suis certain que ma formule fonctionne avec tous les 2n (tels que 2, 4, 8...), mais malheureusement rien ne prouve qu'elle fonctionne avec les autres. Cependant vu que mes résultats ne sont pas trop incohérents avec ceux dont je suis certain, il y a peut-être une probabilité pour que j'aie juste

Bref, j'attends votre verdict avec impatience, merci énormément de votre aide

@+

Posté par
Gryfore : La datation par carbone 14 (partie 1) 15-10-11 à 11:12

up

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : La datation par carbone 14 (partie 1) 15-10-11 à 11:35

Ce n'est pas mal du tout... Et tu as même repérer le "piège" du 3 et du 5 dans la question 4.

Donc, juste un petit accroc à la fin (question 4 pour la division par 3 et 5), mais je ne suis pas sûr que cela soit bien accessible en Seconde.
-----

On peut écrire l'activité A(r) du C14 un certain temps "t" (en années) après la mort de l'élément organique par comparaison avec son activité au cours de sa vie (qu'on note Ao (pour t = 0))

A(t) = Ao X (1/2)^(t/tau) (^ est noté pour "exposant")

Avec tau la période de demi vie du C14

On a donc : A(t) = Ao X (1/2)^(t/5730)

Si tu veux savoir combien de temps, il faut pour que l'activité initiale soit divisée par 3 (donc aussi du poids de C14), donc que A(t) = (1/3).Ao, on fait:

(1/3).Ao = Ao X (1/2)^(t/5730)

(1/3) = (1/2)^(t/5730)

Et il faut trouver le t qui convient pour que cette ralation soit vérifiée.

Si tu connais les "logarythmes", c'est facile ..., sinon, il faut y aller par approximations successives ...

Et tu trouverais : t = 9081 ans.
-----
Pareillement pour trouver le t correspondant à une division par 5 de l'activité ), le calcul aboutirait à :

(1/5) = (1/2)^(t/5730)

... qui donne : t = 13305 ans.
-----

Sauf distraction.  

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : La datation par carbone 14 (partie 1) 15-10-11 à 11:35

Oups, désolé pour l'orthographe.

Posté par
Gryfore : La datation par carbone 14 (partie 1) 15-10-11 à 12:05

Merci beaucoup pour ta patience

J'ai cependant beau retourner ton raisonnement dans tous les sens, j'essaye de comprendre, mais rien à faire, vraiment je n'y comprend rien, désolé Je suis paumé rien qu'à la première phrase

A part ça non je ne connais pas les "logarythmes"... Je sens que je suis mal barré

Si tu pouvais avoir la patience de m'expliquer plus dans les détails (toi ou quelqu'un d'autre d'ailleurs), je t'en serais très reconnaissant

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : La datation par carbone 14 (partie 1) 15-10-11 à 17:01

Le tout est de comprendre la relation A(t) = Ao X (1/2)^(t/5730)

A(t) représente l'activité de l'échantillon à l'instant t (qui est proportionnel au poids de C14 dans l'échantillon à l'instant t)

Ao  représente l'activité de l'échantillon pour t = 0 (qui est proportionnel au poids de C14 dans l'échantillon de son vivant (ou juste à sa mort si tu préfères))
-----

On remarque que cette relation A(t) = Ao X (1/2)^(t/5730) te permet bien de retrouver tes réponses qui correspondent aux questions :

a) Cet élément organique meurt : au bout de combien d'années le poids du carbone 14 aura été divisé par 2 ?

En t = 0 (à la mort de l'organisme) , on a Ao et au moment présent on a la moitié, soit A(t) = Ao/2
-->  Ao/2 = Ao X (1/2)^(t/5730)
1/2 = (1/2)^(t/5730)
On a donc t/5730 = 1 --> t = 5730 ans (on retombe bien sur ta réponse)

b)
a) Cet élément organique meurt : au bout de combien d'années le poids du carbone 14 aura été divisé par 4 ?

En t = 0 (à la mort de l'organisme) , on a Ao et au moment présent on a le quart, soit A(t) = Ao/4
-->  Ao/4 = Ao X (1/2)^(t/5730)
1/4 = (1/2)^(t/5730)
On a donc t/5730 = 2 (puisque (1/2)² = 1/4 --> t = 2 X 5730 = 11460 ans (on retombe bien sur ta réponse)

Mais, l'avantage de procéder ainsi, c'est qu'on peut aussi trouver le nombre d'années pour que le poids du carbone 14 soit divisé par n'importe quel nombre et pas seulement par une puissance de 2.

Si on désire trouver le nombre d'années pour que le poids du carbone 14 soit divisé par 3 (par exemple), il suffit de calculer la valeur de t telle que 1/3 = (1/2)^(t/5730)
Ce n'est pas facile (si on ne connait pas les logarythmes) mais on peut soir essayer des valeurs de t et par la calculette trouver une valeur qui fait qu'on a : (1/2)^(t/5730) = 1/3
Ou bien on trace la fonction f(x) = (1/2)^(x/5730) sur sa calculette graphique et on cherche la valeur de x pour laquelle f(x) = 1/3 ...
Et on trouve x = 9081

En effet, si tu entres sur ta calculette (1/2)^(9081/5730) ... le résultat sera 0,3333..., donc c'est OK.
-----
MAIS, il se peut que la question (poids de C14 divisé par 3 ou 5) ait été posée pour vous montrer la difficulté de trouver une réponse pour des diviseurs autre que des puissances de 2 et qu'il ne faille pas trouver une réponse comme je l'ai fait (réponse qui est juste mais, comme je l'ai indiqué, peut-être pas du niveau Seconde ... si la théorie n'a pas étré vue).

Posté par
Gryfore : La datation par carbone 14 (partie 1) 20-10-11 à 18:16

Je suis d'accord, mais le problème c'est que je n'ai absolument pas compris comment tu trouve la relation A(t) = Ao X (1/2)^(t/5730) ... C'est vraiment compliqué pour moi

Posté par
Gryfore : La datation par carbone 14 (partie 1) 20-10-11 à 18:18

Désolé de t'embêter, mais il est très important que je comprenne autrement je serais complètement paumé pour la suite du DM qui n'est vraiment pas simple du tout non plus...

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : La datation par carbone 14 (partie 1) 21-10-11 à 09:00

Je trouve normal que tu aies des difficultés à comprendre d'où sort A(t) = Ao X (1/2)^(t/5730) si la théorie ne t'a pas été donnée sur le sujet...
De plus, quand on te la donnera, on fera un détour inutile via les exponentielles ou les logarythmes népériens pour effectuer ce genre de calculs, mais soit.

Je ne vois pas pas ce que je peux ajouter à ce que j'ai écrit pour t'aider.

Si tu préfèren du peux, dans la formule remplacer A(t) et Ao (activité) par P(t) et Po.
P(t) étant le poids de C14 restant t années après la mort du corps et Po étant le poids de C14 dans le corps au moment de sa mort.

On a alors : P(t) = Po X (1/2)^(t/5730) avec t en années.

Tu vois bien par cette formule que :

Si tu prends t = la période de demi vie du C14 (soit 5730 ans), le poids restant de C14 dans le corps est P(5730) = Po X (1/2)^(5730/5730) = Po X 1/2 = Po/2

Si tu prends t = 2 fois la période de demi vie du C14 (soit 2 X 5730 = 11460 ans), le poids restant de C14 dans le corps est P(5730) = Po X (1/2)^(11460/5730) = Po X (1/2)² = Po/4

Si tu prends t = 3 fois la période de demi vie du C14 (soit 3 X 5730 = 17190 ans), le poids restant de C14 dans le corps est P(5730) = Po X (1/2)^(17190/5730) = Po X (1/2)³ = Po/8

Remarque : cela indique d'ailleurs  une erreur de ta part (que je n'avais pas vue) quand tu as trouvé le temps qu'il fallait pour que le poids de C14 soit divisé par 8.

Cette "formule" : P(t) = Po X (1/2)^(t/5730) exprime simplement qu'après chaque"tranche" de 5730 ans, le poids est divisé par 2 (ce qu'indique le (1/2))

Cette "formule" peut être utilisée quel que soit t et donc pour n'importe quelle division de poids initial.







Posté par
Gryfore : La datation par carbone 14 (partie 1) 22-10-11 à 11:40

C'est bon, en fait mon prof de maths nous a tout ré expliquer plus calmement, et j'ai tout compris

Si on veut trouver au bout de combien d'années le poids du carbone 14 sera divisé par 8, il faut trouver la période n telle que 2^n=8. Facile : ça fait 3. Donc t=3\times5730=17190.

Même procédé pour 16 par exemple : il faut trouver la période n telle que 2^n=16. Donc n=4. Résultat : t=4\times5730=22920.

Même chose pour 3 maintenant  : 2^n=3. Et pour trouver n, deux solutions : soit par tâtonnement, soit de manière précise en utilisant les ln.

Par tâtonnement : pour commencer, il faut trouver un premier encadrement de n. Il se trouve forcément entre 1 période (21=2) et 2 périodes (2²=4), donc 1<n<2.

Puis on trace un tableau de valeur au dixième près (avec la calculatrice) :

n11,11,21,31,41,51,61,71,81,92
2^n22,142,302,462,642,833,033,253,483,734


Il faut trouver les deux valeurs les plus proches de 3. Et on voit que c'est quand n=1,5 et n=1,6. Donc 1,5<n<1,6. Maintenant on refait un tableau de valeur au centième près cette fois, et on cherche les deux valeurs les plus proches de 3 (je vais passer le tableau). Donc 1,58<n<1,59. Et on refait un autre tableau de valeur aux millièmes près, on trouve 1,584<n<1,585. Stop, on a une valeur assez précise. Entre 2^{1,584} et 2^{1,585}, lequel est le plus proche de 3 ? C'est 1,585.

Donc voilà, on a finalement trouvé n tel que 2^n=3. Finalement, t=1,585\times5730\approx9082.

De manière précise, il faut utiliser les ln. Et c'est d'ailleurs 100 fois plus rapide et facile. Pour trouver n tel que 2^n=3, c'est facile, n=\dfrac{\ln(3)}{\ln(2)}. Et d'ailleurs \dfrac{\ln(3)}{\ln(2)}\approx1,585 c'est d'ailleurs la valeur qu'on a trouvé tout à l'heure.

Et enfin, t=5730\times\dfrac{\ln(3)}{\ln(2)}\approx9082.

Et pour 5, c'est pareil : 2^n=5. n=\dfrac{\ln(5)}{\ln(2)}.

Donc t=5730\times\dfrac{\ln(5)}{\ln(2)}\approx13305.

J'ai vraiment tout capté je crois, je te remercie beaucoup pour ta patience ! Je vais enfin pouvoir passer à la suite du DM

Posté par
Gryfore : La datation par carbone 14 (partie 1) 22-10-11 à 11:43

Il nous a précisé que tout ça forme une fonction appelée log2. À la calculatrice : log_2(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(2)}.

Du coup tout devient plus simple

Posté par
Gryfore : La datation par carbone 14 (partie 1) 22-10-11 à 17:02

Voici la suite du DM La datation par carbone 14 (partie 2)

Posté par
Antoine91re : La datation par carbone 14 (partie 1) 22-10-11 à 17:10

Gryfo, tu es en 2nde S ? Enfin, un lycée spécialisé ?

Posté par
Gryfore : La datation par carbone 14 (partie 1) 22-10-11 à 17:24

Non, seconde générale, pourquoi ?

Posté par
Antoine91re : La datation par carbone 14 (partie 1) 22-10-11 à 17:29

Bah ça m'étonnes que t'utilise les logarithmes !

Posté par
Gryfore : La datation par carbone 14 (partie 1) 22-10-11 à 17:32

Oui, normalement ils ne sont pas étudiés en seconde, mais puisque je comprend comment ça fonctionne, 'vais pas me gêner tiens

Posté par
Antoine91re : La datation par carbone 14 (partie 1) 22-10-11 à 17:33

Notre prof veut pas ... (qu'on utilise du "hors programme" ) --'

Posté par
Gryfore : La datation par carbone 14 (partie 1) 22-10-11 à 17:34

Le mien tolère, parce que genre pour trouver n tel que 3^n=12, ben sans les logarithmes, c'est possible mais ça prend pas mal de temps quoi...


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