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Niveau terminale
La divisibilté par 12
Posté par mathetudiant
L'énoncé:
Soit p un nombre premier supérieur ou égal à 5. Montrer que: p2+11
[12].
----------------------------------------------------------------------------------------
On a pour tout nombre premier p supérieur ou égale à 5: p1[4] ou p3[4] (car p est nécessairement impair). Donc p21[4].
p2+110[4]
Or, p1[3] ou p2[3] (car p est impair). Donc: p21[3]. Alors:
p2+110[3].
Comme PGCD(3;4)=1, p2+110[12].
Bonjour Zormuche
J'utilise ce théorème toujours sans citer une source car dans mon manuel des maths il est sous titre de «Théorème» seulement. Le théorème est la suite:
Soit a, b et c des entiers relatifs non nuls. On a l'implication: (a divise c et b divise c et PGCD(a;b)=1)
ab divise c.
salut
ouais c'est bien compliqué de travailler modulo 4 ... puis ensuite "bricoler" quelque chose modulo 3
le corollaire du théorème de Gauss nous permet d'écrire immédiatement qu'un nombre premier supérieur (ou égal) à 5 s'écrit p = 6k + 1 ou p = 6k - 1
puisqu'il n'est pas multiple de 2 (il est impair)
et qu'il n'est pas multiple de 3
sans ce corollaire on regarde simplement ce qui se passe dans la division euclidienne par 6
le calcul de p^2 + 11 donne alors immédiatement le résultat ...
Bonjour,
Je ne fais que passer.
Citation :
Or, p1[3] ou p2[3] (car p est impair). Donc: p21[3]. Alors:
Or, p
1[3] ou p2[3] (car p est impair). Donc: p21[3]. Alors:
9 est impair ; mais n'est congru ni à 1 ni à 2 modulo 3.
Par ailleurs, pourquoi écrire "
0" au lieu de "divisible par" ou "multiple de " ?Carpediem disait que les nombres premiers s'écrivaient de la sorte
Si tous les 6k+1 et 6k-1 étaient premiers, bien des problèmes actuels n'en seraient plus
Si un entier p supérieur à 5 est premier alors il s'écrit 6k+1 ou 6k-1 avec k entier.
Et pas besoin de théorème de qui que ce soit pour ça.
Seulement utiliser les restes possibles dans la division par 6.
Avec les restes possibles de la division par 12, c'est peut-être plus bourrin, mais ça marche aussi.
je n'ai pas dit qu'un nombre de la forme 6k + 1 ou 6k - 1 est premier !!
j'ai dit : si un nombre est premier et supérieur à 5 alors il s'écrit 6k + 1 ou 6k - 1
merci Sylvieg
larrech :
après avoir écrit :
un nombre premier supérieur à 3 s'écrit 2k + 1 (tout simplement est impair)
un nombre premier supérieur à 5 s'écrit 6k - 1 ou 6k + 1
en général on ne va pas à 12 mais à 30 puisque 2 * 3 * 5 = 30
et un nombre premier supérieur à 30 s'écrit ...
mais tout comme avec 12 ça fait tellement de cas qu'on s'arrête à 6
PS : parfois on passe par 4 et on écrit qu'un nombre premier supérieur à 3 s'écrit 4k - 1 ou 4k + 1
ce qui fait deux cas comme avec 6 et avec 3 en plus mais l'information est plus riche d'utiliser 6 plutôt que 4 car plus restrictive ...
donc tester la primalité avec 6 plutôt qu'avec 4 est plus rapide du point de vu algorithmique quand on liste tous les nombres ... (en testant à part la parité (divisibilité par 2) et par 3)
Bonjour ,
Citation :
Si un entier p supérieur à 5 est premier alors il s'écrit 6k+1 ou 6k-1 avec k entier.
Et pas besoin de théorème de qui que ce soit pour ça.
Seulement utiliser les restes possibles dans la division par 6.
Si un entier p supérieur à 5 est premier alors il s'écrit 6k+1 ou 6k-1 avec k entier.
Et pas besoin de théorème de qui que ce soit pour ça.
Seulement utiliser les restes possibles dans la division par 6.
Citation :
je n'ai pas dit qu'un nombre de la forme 6k + 1 ou 6k - 1 est premier !!
j'ai dit : si un nombre est premier et supérieur à 5 alors il s'écrit 6k + 1 ou 6k - 1
merci Sylvieg
je n'ai pas dit qu'un nombre de la forme 6k + 1 ou 6k - 1 est premier !!
j'ai dit : si un nombre est premier et supérieur à 5 alors il s'écrit 6k + 1 ou 6k - 1
merci Sylvieg
(6k+1)^2+11=36k^2+12k+12=12(3k^2+k+1)
(6k-1)^2+11=36k^2-12k+12=12(3k^2-k+1)
carpediem
J'ai retrouvé ça dans les archives :
Congruences : petite difficultée avec un nombre premier
larrech : oui oui bien sûr !!!
dans tous les cas c'est "bourrin" comme tu dis ... je dirai plutôt calculatoire !!
puisqu'il faut tester tous les cas et calculer truc^2 + 11 dans tous ces cas
travailler avec 12k +- ... se fait tout à fait mais double le nombre de cas à tester plutôt que si on prend 6k +- ... et n'apporte rien de plus (info ou propriété particulière
il est évident que 12 divise 12 donc trivialement son double et son carré
mais 12 = 2 * 6 et 6 = 2 * 3 donc trivialement 12 divise le double de 6 et le carré de 6 tout autant simplement !!!
je préfère faire deux calculs que quatre !!
après de toute manière c'est de trouver soi-même et de proposer quelque chose de correct (en particulier nul besoin de parler de pgcd comme le fait mathetudiant que ce soit avec 6 ou avec 12 et en tout cas il faut le faire proprement si on part avec 4) ... même si on ne choisit pas le "chemin" le plus efficace
Sylvieg
Sylvieg @ 13-03-2021 à 08:51
Bonjour,
Je ne fais que passer.
9 est impair ; mais n'est congru ni à 1 ni à 2 modulo 3.
Par ailleurs, pourquoi écrire " 0" au lieu de "divisible par" ou "multiple de " ?
Bonjour,
Je ne fais que passer.
Citation :
Or, p1[3] ou p2[3] (car p est impair). Donc: p21[3]. Alors:
Or, p
1[3] ou p2[3] (car p est impair). Donc: p21[3]. Alors:
9 est impair ; mais n'est congru ni à 1 ni à 2 modulo 3.
Par ailleurs, pourquoi écrire "
0" au lieu de "divisible par" ou "multiple de " ?Non! On sait que p est premier. S'il vous plait, relire l'énoncé. Quand je parle à p alors je parle d'un nombre premier supérieur ou égal à 5. 9 n'est pas un nombre premier
. C'est très facile (pour ganger le temps) de travailler par le congruence modulo.
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carpediem @ 13-03-2021 à 08:16
salut
ouais c'est bien compliqué de travailler modulo 4 ... puis ensuite "bricoler" quelque chose modulo 3
le corollaire du théorème de Gauss nous permet d'écrire immédiatement qu'un nombre premier supérieur (ou égal) à 5 s'écrit p = 6k + 1 ou p = 6k - 1
salut
ouais c'est bien compliqué de travailler modulo 4 ... puis ensuite "bricoler" quelque chose modulo 3
le corollaire du théorème de Gauss nous permet d'écrire immédiatement qu'un nombre premier supérieur (ou égal) à 5 s'écrit p = 6k + 1 ou p = 6k - 1
Alors j'ai seulment bricolé!
Alors je vais expliqué plus.
p est un nombre premier supérieur ou égal à 5. Donc il n'est pas divisible ni par 3 ni par 4. D'autre termes: p
1[4] ou p2[4] ou p3[4]. On sait que p2[4] 
p=4k+2=2(2k+1) / k
. Ce qui est absurde car p est premier supérieur ou égal à 5 (il est impossible d'etre pair). Il rest deux cas alors: p1[4] ou p3[4]. Alors p21[4] ou p29[4]. On a 91[4], alors: p21[4]. C'est pour4. Pour 3, on a aussi deux cas: p1[3] ou p2[3] (Rappelons que p est premier). De meme: p21[3] ou p24[3]. Puisque 41[3], alors p21[3].
Les deux résultats sont: p2
1[4] et p21[4]. Donc: p2+1112[3] et p2+1112[4] et comme 120[4] et 120[3], il résulte: p2+110[4] et p2+110[3]. Puisque 3 et 4 divisent p2+11, alors 12 divise p2+11.
J'ai expliqué l'idée en détail.
Salut...
Je réponds à
Citation :
Non! On sait que p est premier
Tu as écrit ceci dans ton premier message :
Non! On sait que p est premier
Citation :
Or, p1[3] ou p2[3] (car p est impair)
Je persiste à dire que c'est faux.
Or, p
1[3] ou p2[3] (car p est impair)Je mets les points sur les i : c'est le "car" qui est faux.
Il fallait écrire "car p est premier est non égal à 3".
Voire compléter par "donc non divisible par 3"
L'adjectif "impair" est hors sujet.
Il faut que tu fasses des progrès dans ta manière de rédiger.
Et, en même temps, tu feras des progrès pour trouver les démonstrations.
Sylvieg
Oui c'est ma faute.
mathetudiant @ 12-03-2021 à 21:59
Or, p1[3] ou p2[3] (car p est impair). Donc: p21[3]. Alors:
Or, p
1[3] ou p2[3] (car p est impair). Donc: p21[3]. Alors:
Ma faute est clair car il n'y a aucune relation entre la parité de p et le congruence modulo 3. Je dois écrire au lieu de ça que p
1[3] ou p2[3] car p est premier et supérieur ou égal à 5.
Merci infiniment pour vos conseils.