Salut,

C'est un exo posté à de nombreuses reprises, notamment ici : un exo sur la droite d euler.

Utilise le moteur de recherche à l'avenir avant de poster un exo : [lien].

à+

dsl je ne savais pas que cet exo a deja été traité à plusieurs reprises...
j'ai lu pas mal de sujet et pour plusieurs d'entre eux, ils m'ont bien aider à répondre à certaines question.
Mais il y a trois questions que j'ai vraiment du mal à comprendre et à rédiger, la 1) b), 2) b) et c)
est ce que ce serai possible d'avoir un coup de pouce
merci

Bonsoir
si tu appelles I le milieu de [BC]
tu as toujours
PB+PC=2PI (méthode du parallélogramme pour construire la somme de 2 vecteurs issus d'un même point)
et si tu as
2PI+PA=0
A,P,I sont alignés et tels  que AP=2/3AI et P est donc bien le centre de gravité du triangle ABC

2b) OA+OB+OC=OH+HA+OB+OC=OH
donc OB+OC=AH
or OB+OC=2OA' (même raison que ce que je t'ai rappelé dans la question précédente)
et comme O est le centre du cercle circonscrit
OA' est sur la médiatrice de [BC]
AH est colinéaire de 2OA' donc perpendiculaire à ;[BC],(AH) est donc la hauteur issue de A du triangle ABC
tu fais la même chose en écrivant
OH=OA+OH+HB+OC et tu tiens le même raisonnement que précédemment et tu démontres ainsi que BH est perpendiculaire à (AC)
c'est donc la hauteur issue de B et H est donc bien l'orthocentre
Bon travail

merci beaucoup pour ta réponse gaa, tu m'a énormement aidé.
Mais il y a une chose que j'ai pas compri dans ton résonnement, dans le 2) b), AH est colinéaire de 2OA' donc perpendiculaire ... pourquoi perpendiculaire? ce ne serai pas plutot parallèle?

Bonjour
AH colinéaire à 2OA' qui lui-même est perpendiculaire à [BC] (puisque (OA') est la médiatrice de [BC])
donc AH est perpendiculaire à [BC] et donc (AH) est hauteur du triangle.
Bonne journée

bonjour
merci encore une fois de m'avoir répondu gaa
je ne sais pas si j'en demande trop mais comment démontrer alors que (AH) et (OA') sont parallèles? et comment démontrer que les points O, H et G sont aligné?
c'est peut être les vacances mais je n'arrive pas à trouver...
merci d'avance

SVP j'ai vraiment besoin d'une aide précieuse, j'ai utiliser le moteur de recherche (d'ailleur à ce que j'ai vu, gaa spécialist de la droite d'Euler) et sa m'a fait beaucoup avancer mais démontrer que (AH) et (OA') parallèle et O, H et G aligné, j'y arrive pas.
Quelqu'un pourrait-il m'aider??

Bonjour
tu as probablement mal compris mes explications concernant le parallélisma de AH et OA' (vecteurs) et par conséquent, je recommence
on part de
OH=OA+OB+OC
avec Chasles tu peux écrire
OA=OH+HA et tu remplaces dans la relation de départ
OH=OH+HA+OB+OC    (OH est de part et d'autre de l'égalité donc)
HA+OB+OC=0
-HA=OB+OC
AH=OB+OC
OB+OC se construit par la méthode du parallélogramme et puisque A' est le milieu de [BC]
OB+OC=2OA'    donc
AH=2OA'
AH et 2OA' sont donc colinéaires (// et de même longueur)
et comme O est le centre du cercle circonscrit, c'est l'intersection des médiatrices
et tu as appris depuis la 6ème que la médiatrice d'un segment est la perpendiculaire en son milieu à ce segment.
donc OA' donc 2OA' est perpendiculaire à [BC]
donc AH l'est aussi, donc AH est hauteur
et si au lieu d'écrire OA=OH+HA, tu écris
OB=OH+HB, et recommence avec HB ce que j'ai écrit avec AH, tu montres de la même manière que HB est hauteur et donc que H est l'orthocentre du triangle.

En ce qui conerne l'alignement de H,O et G je ne te l'ai pas encore explicité mais c'est encore plus simple
On part de la définition vectorielle de H
OH=OA+OB+OC


on peut écrire avec Chasles que
OA=OG+GA
OB=OG+GB
OC=OG+GB
et si tu additionnes ce qui vient d'être écrit
OA+OB+OC=3OG+GA+GB+GC
et comme GA+GB+GC=0
on aura
OH=OA+OB+OC=3OG
et cette relation vectorielle montre bien que O,H et G sont alignés (OH et 3OG colinéaires) et que G est au 1/3 du segment [OH]
et si tu ne comprends toujours pas, j'abandonne.

Bonne année 2006