La (dure) loi des séries - forum de maths - 828191

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Posté par re : La (dure) loi des séries 28-10-19 à 15:33

Pour @Fractal, non car tu ne tiens pas compte des quantificateurs.

La convergence uniforme de la suite $n\mapsto R_n$ vers 0 sur les $K_a=]\gets,-a]\cup[a,\to[$ s'écrit :
$\forall a\in\R_+^*,\;\forall\varepsilon\in\R_+^*,\;\exists p(a,\varepsilon)\in\R_+^*,\forall n\in\N,\;\;n>p(a,\varepsilon)\implies\forall x\in K_a,\;|R_n(x)|<\varepsilon$

Tandis que la convergence sur $\R^*$ ce serait :
$\forall\varepsilon\in\R_+^*,\;\exists q(\varepsilon)\in\R_+^*,\forall n\in\N,\;\;n>q(\varepsilon)\implies\forall x\in \R^*;|R_n(x)|<\varepsilon$

La grande différence vient de ce que le rang intéressant, dans le deuxième cas, ne dépend QUE de $\varepsilon$ et tu ne peux (sauf démonstration) obtenir cette propriété à partir de la première écriture : il faudrait trouver un entier $q$ supérieur à à TOUS les $p(a,\varepsilon)$ .
Si tu revois ta démonstration tu verras que tu as été obligé (je m'avance un peu puisque je ne saurais démontrer que c'est la seule méthode) de choisir $p>\dfrac1a$ et il est impossible de trouver un entier supérieur à TOUS les $\dfrac1a$ .

Moralité Avoir la convergence uniforme sur des ensembles ne permet pas de passer à la réunion de ces ensembles.
S'il il n'y en a qu'un nombre fini, c'est facile mais s'il y a une infinité d'ensembles ...

...................................
Une autre question que tu devrais poser : comment, à partir de la convergence normale sur les segments de $\R^*$ peut-on obtenir la dérivabilité sur l'ensemble $\R^*$ ?
Là c'est un autre problème !
Soit $x\in\R^*$ . Il existe un segment $S$ de $\R^*$ contenant $x$ dans son intérieur.
La suite de fonctions $n\mapsto f_n$ converge uniformément sur $S$ donc, par théorème de la dérivabilité, la restriction à $S$ de la limite uniforme $f$ est dérivable en $x$ .
Et $x$ étant intérieur à $S$ on peut conclure à la dérivabilité de $f$ en $x$ .