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Niveau Reprise d'études
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La (dure) loi des séries

Posté par
Fractal 18-10-19 à 16:37

Bonjour,



J'ai un exercice qui me pose pas mal de questions, le voici :

Soit la série de terme général u_n :

u_n : \R \longrightarrow \R avec :

u_n(x)=\frac{x}{1+n^2x^2}  


1°)- Montrer que la série (\sum u_n)   converge simplement sur   \R

J'ai trouvé une convergence simple vers   0 , fonction nulle.



2°)- On note   S la somme de cette série et :

S(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{x}{1+n^2x^2}    

Préciser   S(0)

J'ai trouvé S(0)=\sum\limits _{n=0}^{+\infty} 0=0



3°)- Soit   a>0

Montrer que la série (\sum u_n)   converge normalement vers   S   sur ]-\infty,-a]\cup ]a,+\infty]  

J'ai cherché en fait un a>\frac{1}{n}  , x=\frac{1}{n}   correspondant à l'abscisse du Sup de la courbe sur \R+   et j'arrive ainsi à la majoration suivante :

\mid u_n(x)\mid \le a_n , avec   a_n= \frac{1}{1+n^2}   , série convergente avec \forall n\in \N,\space a_n>0  

Ce qui prouve la convergence normale de la série sur   [1,+\infty[ , mais est-ce que cela permet d'affirmer une convergence normale sur    [a,+\infty[ ?

J'ai cherché un a>\frac{1}{n}  >0 fonction de   n , tel que par exemple un a=\frac{1+\frac{1}{n}  }{n}  >\frac{1}{n}  >0 , mais je me retrouve bien avec une série majorant mon \mid u_n(x)\mid  , mais malheureusement pas convergente.

Je ne sais pas si je suis clair, mais j'aurais aimé vos lumières là-dessus.

Je bloque à partir de là.


Les questions d'après :

4°)- Déterminer, si elles existent, les limites de S en +\infty et -\infty

5°)- Montrer que S est dérivable sur \R^*

6°)- Soit x>0 . On pose R_n(x)=\sum\limits _{k=n+1}^{+\infty}  \frac{x}{1+k^2x^2}  

a)- Montrer que R_n(x)\ge \sum\limits _{k=n+1}^{2n}  \frac{x}{1+4n^2x^2}  

b)- En déduire que   R_n(\frac{1}{n})\ge \frac{1}{5}

c)- La série converge-t-elle uniformément sur   \R{+*}

Avec tous mes remerciements par avance pour votre aide.

Posté par
lionel52re : La (dure) loi des séries 18-10-19 à 17:22

Bon la 1ere question est déjà fausse, tu peux décrire ton raisonnement?

Posté par
luzakre : La (dure) loi des séries 18-10-19 à 17:51

Ton blabla sur la recherche des a est sans intérêt.
On te donne a>0, la fonction u_n est impaire !
Pas difficile de trouver son maximum sur [a,\to[ et tu en déduis la convergence normale.

u'_n est paire et, sauf erreur, tu peux le majorer que [a,b],\;0<a<b,\;b\in\R.

Le 6. me semble assez facile .

Le tout est de savoir ce que "reprise d'études" veut dire : les théorèmes sur les séries de fonctions sont-ils connus ?

Posté par
jeansebre : La (dure) loi des séries 18-10-19 à 18:15

Bonjour

3)D'abord tu ne choisis pas a connaissant n: pour a>0 donné, à partir d'un certain rang N ,  1/n < a pour tout n et comme un(x) est décroissante après 1/n,un(x) <= un(a) doncunun(a) qui converge
Donc un cv normalement sur [a;+oo[
La fonction étant impaire, c'est idem de l'autre coté.

Posté par
jeansebre : La (dure) loi des séries 18-10-19 à 18:16

Excuse Luzak je n'ai pas vérifié les nouveaux posts.

Posté par
Fractalre : La (dure) loi des séries 18-10-19 à 19:41

Bon, comment dire ...
Ça faisait longtemps que je n'étais pas venu naviguer aux abords de l'île autrement qu'en passage furtif; je pensais pouvoir y trouver un peu de sérénité, c'était manifestement sans compter sur les éventuels écueils …
Com' moi y'en a parlé un francé limité, jeu vé essayé d'êtes pus clair : « une reprise d'études », c'est quand on a arrêté ses études pendant un certain temps (au-delà de simples vacances d'été), et qu'on les reprend. En général, ceux qu'on conservé le goût de « leurs » études, de la volonté, de l'effort, qui n'ont pas eu la chance de faire l'école souhaitée, qui ont travaillé, qui aiment apprendre … en général ceux-là savent ce que ça veut dire que de « reprendre des études » …
Comme a priori le tout c'était de savoir ce que voulait donc dire « reprise d'études », et que là en l'occurrence je viens de donner une piste de réponse, « le tout » en question est-il rempli ? Si tel est le cas, c'est bonnard, ça veut dire qu'on a fini, non ? Pourtant, je n'ai pas l'impression que ça répond à mes interrogations.
Les professeurs qui m'ont donné le goût de toujours apprendre, ce sont ceux qui disaient qu'il n'y avait pas de question bête, que toute interrogation méritait d'être formulée, ce afin d'apporter un éclairage sur les zones d'ombre. Je leur en saurais éternellement gré, et jamais ils n'auraient traité de « bla bla » des paroles que j'aurais, certes parfois maladroitement, prononcées.
Si j'expose ce dit « bla bla », c'est parce que j'ai mes raisons, à savoir les raisons d'essayer de répondre à mes interrogations, ô combien mêmes que celles-ci fussent quelque peu saugrenues, interrogations que j'ai dans le cadre de ma démarche d'apprentissage, démarche d'apprentissage relative à ma reprise d'études.

Posté par
Fractalre : La (dure) loi des séries 18-10-19 à 19:46

(* … des paroles que j'aurais eu.)

Maintenant ma question est la suivante : puis-je compter sur l'aide de l'île aux maths sans prendre dans la tronche des expressions quelque peu péjoratives, ou faut-il mieux aller voir ailleurs …….. pour sa reprise d'études ?

Posté par
lafol Moderateurre : La (dure) loi des séries 18-10-19 à 20:26

Bonjour
attention dans la 1) tu as majoré sans doute |u_n(x)|par le terme général d'une série convergente
le terme général en question tend vers 0, certes (sans quoi la série serait grossièrement divergente) mais ça ne veut pas dire que la somme de la série est nulle !
tu remarqueras d'ailleurs qu'on te demande de prouver la convergence simple de la série, pas de dire quelle en est la somme (le fameux S(x) défini ensuite, tu te doutes bien que si c'était vraiment vers 0 que la série initiale convergeait, on n'aurait pas défini S(x) pour avoir en fin de compte S(x) = 0 pour tout x !)

Posté par
lafol Moderateurre : La (dure) loi des séries 18-10-19 à 20:29

pour la 3), tu connais le max en 1/n
pour tout a positif, dès que n est supérieur à 1/a, a sera supérieur à 1/n, et donc le max de u_n sur [a, +oo[ sera atteint en a et vaudra u_n(a)
et tu sais que tous tes théorèmes sur les séries n'ont pas besoin de vérifications pour tout n, mais que "pour tout n à partir d'un certain rang " est suffisant

Posté par
Fractalre : La (dure) loi des séries 18-10-19 à 20:33

Je te remercie Lafol, je vais regarder cela à tête reposée et reprendrai ensuite.

Posté par
luzakre : La (dure) loi des séries 19-10-19 à 09:54

Dans une question qui commence par "Soit a>0" tu commences ta réponse par

Citation :
J'ai cherché en fait un a>\frac{1}{n}  , x=\frac{1}{n}   correspondant à l'abscisse du Sup de la courbe sur \R+  

et tu estimes que le mot "blabla" est insultant ?

Posté par
malou Webmasterre : La (dure) loi des séries 19-10-19 à 10:49

Bonjour luzak
la catégorie "reprise d'études" est assez récente, et a été initiée par moi-même car je me rendais compte que certains demandeurs se prenaient une volée de bois vert lorsqu'ils postaient en licence ou autre...Postent dans cette catégorie souvent des adultes, qui bossent la journée, et qui soit par simple goût pour les maths, soit par désir de reconversion professionnelle cherchent des réponses à leurs questions...Pour beaucoup, ils n'ont pas du tout nos réflexes, il faut le savoir.
Septembre 2019 ....Bonne rentrée à tous ....

Bonjour Fractal
J'espère que tu trouveras sur notre site à nouveau l'aide attendue. Bon retour sur notre site.

Bonne journée à tous les deux
malou

edit

Posté par
jeansebre : La (dure) loi des séries 19-10-19 à 11:36

Fractal @ 18-10-2019 à 19:41

Les professeurs qui m'ont donné le goût de toujours apprendre, ce sont ceux qui disaient qu'il n'y avait pas de question bête, que toute interrogation méritait d'être formulée, ce afin d'apporter un éclairage sur les zones d'ombre. Je leur en saurais éternellement gré, et jamais ils n'auraient traité de « bla bla » des paroles que j'aurais, certes parfois maladroitement, prononcées.

Il n'y a rien à ajouter.

Posté par
luzakre : La (dure) loi des séries 19-10-19 à 18:01

Je ne pensais pas à mal !
Et ma question sur le "niveau" consistait seulement à savoir si oui (non) il connaissait (ou pas) les résultats concernant les séries de fonction.
Sans une réponse à ce sujet je ne vois pas comment aider !

Posté par
Fractalre : La (dure) loi des séries 20-10-19 à 12:40

lafol,lionel52,

Dans la 1°) voilà ce que j'avais fait :

Fixons x; nous avons : \forall x\in\mathbb{R},  \;\forall n\in\mathbb{N},\;  \mid u_n(x)\mid \:=\:\mid \frac{x}{1+n^2x^2}\mid  \underset{n\to +\infty}\sim\frac{1}{n^2}

Or la série (\sum \frac{1}{n^2}) est convergente sur \mathbb{R}, donc (\sum u_n) est absolument convergente sur \mathbb{R}.

La série de fonctions  (\sum u_n) converge donc simplement sur \mathbb{R}.

Je me suis mélangé les pinceaux en écrivant et en mettant cela

Citation :
J’ai trouvé une convergence simple vers   0 , fonction nulle.

Posté par
Fractalre : La (dure) loi des séries 20-10-19 à 13:23

3°)-  Pour ce qui est de la convergence normale, mon cours polycopié fait part de ceci :

. Soit (\sum u_n) une suite d'application de I dans \R. On dit alors que la série de fonctions (\sum u_n) est normalement convergente sur I s'il existe une série numérique à termes positifs convergente  (\sum a_n) telle que, pour tout n de \N, et pour x de I, \mid u_n(x)\mid\le a_n
Rmq. : il est important que n ne dépende pas de x.

J'avais relevé le fait que la fonction était impaire. Ce que j'ai donc cherché à faire, sûrement à tort, c'est en fait de chercher un a le plus proche possible de \frac{1}{n} tout en étant plus grand, ce pour essayer de trouver donc une série (\sum a_n) qui majore celle donnée. Et comme je l'ai expliqué ci-dessus, je n'ai pas trouvé. Voilà pourquoi j'ai expliqué avoir pris   a_n= \frac{1}{1+n^2}   , série convergente avec \forall n\in \N,\space a_n>0   , à défaut, en me doutant bien que cela n'était pas satisfaisant en terme de raisonnement.

Voilà le pourquoi de ce que j'ai exposé ci-dessus : la question posée, l'exposition de ma démarche, ma ou mes interrogations.

lafol m'a donc éclairé par son post du 18-10-19 à 20:29. J'aurais pu longtemps tourner autour.

Merci à lafol qui a parfaitement compris là où j'en étais.

Pour le reste, non pas de l'exercice que je tiens à reprendre et à comprendre, je ne souhaite pas de polémique qui enflerait, juste deux choses :

- malou :

Citation :
la catégorie "reprise d'études" est assez récente, et a été initiée par moi-même

Oui je m'en souviens, nous en avions "parlé ensemble" à l'époque

- luzak :
Citation :
et tu estimes que le mot "blabla" est insultant ?

Je le ressens comme irrespectueux des efforts et des sacrifices que je fais, des explications que je m'efforce de donner pour essayer de faire comprendre au mieux à celui qui serait prêt à m'aider de là où j'en suis (même si je sais que bien souvent par le passé tu m'as déjà aidé et je t'en remercie).
Je ne suis pas "élève", je n'ai pas de DM à rendre, pas de DS à "craindre", pas de notes à avoir sur un bulletin pour que mes parents me lâchent, j'ai juste envie d'apprendre, avec mes fragilités, mes manques et aussi mes forces, la suffisance et la certitude de savoir étant deux domaines dans lesquels je ne me complais pas.
Oui je traine la patte, oui c'est difficile pour moi, mais je m'accroche et je ne me tente pas d'à peu près ou d'illusion d'avoir compris.

Maintenant, je voudrais continuer d'avancer dans "mes" maths sans me sentir blessé, je n'ai guère besoin de cela.

Merci à tous.

Posté par
Fractalre : La (dure) loi des séries 20-10-19 à 13:34

luzak

Citation :
connaitre (ou pas) les résultats concernant les séries de fonction.


Connaitre serait un bien grand mot, disons que j'ai des éléments de mon polycopié et que j'essaye de comprendre.

Posté par
luzakre : La (dure) loi des séries 20-10-19 à 15:29

C'est déjà pas mal d'avoir un cours à ta disposition !
Quant au "blabla" cela signifie simplement que tu te mets à imaginer une voie sans voir à priori la sortie.
Et comme tu insistes sur "chercher le a le plus proche..." je suis obligé de te dire que tu ne prends pas les choses par le bon bout.
a est donné, à toi de trouver le maximum sur [a,\to[ de la fonction |u_n|.
Tu as déjà eu la réponse à ce questions.
.............................
Pour les limites de S je suppose que tu as aussi le résultat du cours : on peut intervertir limite et somme s'il y a convergence uniforme.
As-tu réfléchi à cette question et trouvé la réponse ?

...........................
Pour la dérivation j'ai déjà donné l'indication : tu essaies d'obtenir (en tenant compte de la parité de u'_n) un majorant de |u'_n(x)| pour 0<a\leq x\leq b.
Si tu en trouves un dont la série est convergente tu as la convergence uniforme de \sum u'_n sur [a,b] et à l'aide de ton cours tu peux en déduire la dérivabilité sur ce segment.
Je te laisse réfléchir à la façon de passer de ce résultat à la dérivabilité en tout point différent de 0

Posté par
malou Webmasterre : La (dure) loi des séries 20-10-19 à 15:46

reBonjour,
je vais ouvrir un sujet dans le forum site, voir si on peut améliorer cette classification de reprise d'études
C'est ici : les sujets reprise d'études
edit

Posté par
Fractalre : La (dure) loi des séries 22-10-19 à 12:12

Bonjour luzak,

Citation :
Pour les limites de S je suppose que tu as aussi le résultat du cours : on peut intervertir limite et somme s'il y a convergence uniforme.
As-tu réfléchi à cette question et trouvé la réponse ?


Je regarde cela : CVN sur I implique CVU sur I implique limite de somme = somme des limites
C'est ça l'idée ?

Posté par
lafol Moderateurre : La (dure) loi des séries 22-10-19 à 13:48

exactement !

Posté par
Fractalre : La (dure) loi des séries 22-10-19 à 19:11

Voilà ce que j'ai fait :

4°)-   \text{La série }(\sum u_n)\text{ est normalement convergente sur }[a,+\infty[, \text{ donc uniformément convergente sur }[a,+\infty[,

\text{ et on a : }\hspace*{0,2cm} \lim\limits_{x\to +\infty}S(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}\sum\limits _{n=0}^{+\infty}\frac{x}{1+n^2x^2}=\sum\limits _{n=0}^{+\infty}\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x}{1+n^2x^2}=\sum\limits _{n=0}^{+\infty}0=0

\text{De même : }\lim\limits_{x\to -\infty}S(x)=\lim\limits_{x\to -\infty}\sum\limits _{n=0}^{+\infty}\frac{x}{1+n^2x^2}=\sum\limits _{n=0}^{-\infty}\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{x}{1+n^2x^2}=\sum\limits _{n=0}^{+\infty}0=0

Posté par
luzakre : La (dure) loi des séries 22-10-19 à 22:53

Exact !
Maintenant tu t'attaques au problème de dérivation.

Posté par
Fractalre : La (dure) loi des séries 23-10-19 à 08:46

Merci Luzak.
J'y suis.
L'idée à mon sens est de montrer la CVN sur \R^* de u'_n, d'où sa CVU, ce qui impliquerait que S soit dérivable sur  \R^*, car d'après un théorème de mon polycopié, c'est la CVU de la série des dérivés (\sum u'_n) qui permet d'intervertir les signes \frac{d}{dx} et \sum_{n=0}^{+\infty}
(La dérivée de la somme de la série (\sum u_n) s'obtient en dérivant terme à terme la série (\sum u_n))

Rmq. : à partir de là, j'aurais une question par rapport au cours, j'y reviendrais peut-être.

Par rapport à cet exercice, j'ai regardé la dérivée (qui est effectivement paire). Sur \R+, j'ai un extremum négatif en l'abscisse x=\frac{\sqrt{3}}{n}, et une ordonnée constante quelques soient les valeurs de n en y=-\frac{1}{8}.

A partir de là, je patauge.

Posté par
luzakre : La (dure) loi des séries 23-10-19 à 14:29

Je pense que ce que tu racontes avec ton \dfrac{\sqrt3}n vient d'une tentative de chercher le maximum de u'_n.
Mais c'est inutile, il est beaucoup plus simple ici de majorer le numérateur et minorer le dénominateur pour 0<a\leq x\leq b.
Tu aurais dû donner la valeur trouvée pour la dérivée, pour approuver ou non tes calculs.
Si mes souvenirs sont bons tu as \dfrac{1-n^2x^2}{(1+n^2x^2)^2} comme dérivée mais j'ai peut-être tort.
Si j'ai raison( autrement il suffit d'adapter ce que je dis) j'écrirai 1-n^2x^\leq(1-n^2b^2),\;1+n^2x^2\geq(1+n^2a^2) et, en remarquant que la série \sum\dfrac{1-n^2b^2}{(1+n^2a^2)^2} est convergente, j'ai une condition suffisante de convergence normale de \sum u'_n sur [a,b].

Posté par
Fractalre : La (dure) loi des séries 23-10-19 à 15:22

Oui, j'ai tenté une approche par la dérivée de la dérivée :

u''_n(x)=\dfrac{2n^2x(n^2x^2-3)}{(1+n^2x^2)^3}

Posté par
Fractalre : La (dure) loi des séries 23-10-19 à 16:20

luzak,

Est-on bien certain de majorer le numérateur avec 1-n^2b^2 ?
1-a^2 est plus grand que 1-b^2 si a<b, non ?

Posté par
Fractalre : La (dure) loi des séries 23-10-19 à 17:11

..... sauf qu'en valeur absolue ce n'est plus le cas (?)

Mais dans ce cas nous serions sur une majoration de la sorte, non ? :

\sum\dfrac{\mid 1-n^2b^2\mid}{(1+n^2a^2)^2}

Posté par
luzakre : La (dure) loi des séries 23-10-19 à 18:55

Tu as raison pour le problème de signe !
Tu peux alors faire ceci :
1-n^2x^2\leq1-n^2b^2 et n^2x^-1\leq a^2n^-1 ce qui permet d'écrire
|1-n^2x^2|\leq\max(1-n^2b^2,n^2a^2-1).
Il est alors facile de voir que si n est assez grand (je te laisse le soin de préciser) on aura |1-n^2x^2|\leq n^2a^2-1 ce qui permet de continuer.

Posté par
luzakre : La (dure) loi des séries 24-10-19 à 09:08

Désolé pour mes inégalités fausses, lire :
Tu peux alors faire ceci :
1-n^2x^2\leq1-n^2b^2 et n^2x^-1\leq a^2n^2-1 ce qui permet d'écrire

|1-n^2x^2|\leq\max(|1-n^2b^2|,|n^2a^2-1|)=\max(n^2b^2-1,n^2a^2-1)=n^2b^2-1.

Il est alors facile de voir que si n est assez grand (je te laisse le soin de préciser) on aura |1-n^2x^2|\leq n^2b^2-1 ce qui permet de continuer.

Posté par
Fractalre : La (dure) loi des séries 24-10-19 à 09:30

Je te remercie, je vais regarder cela.

Posté par
Fractalre : La (dure) loi des séries 24-10-19 à 15:02

Je pense avoir saisi « l'esprit » de ce que tu me présentes (même si je pense qu'il y a encore une inégalité fausse au début de ton post, liée très certainement à un copié-collé)

Posté par
Fractalre : La (dure) loi des séries 24-10-19 à 15:45

Il y a quelque chose que j'aimerais exposer présentement, source très probable de confusion en ce qui me concerne.

Dans mon polycopié figure le théorème suivant :

Soit (u_n)une suite d'applications de I dans \R.

On dit que la série de fonctions (\sum u_n) est normalement convergente sur I s'il existe une série numérique à termes positifs convergente (\sum a_n) telle que, pour tout n de \N et pour tout x de I, \mid u_n(x)\mid \le a_n.



Cependant, comment dois-je comprendre cela ?, à savoir la conjonction  de ces 2 phrases :

« s'il existe une série numérique à termes positifs convergente »

et

« pour tout n de \N ».



En effet, avec une majoration de mon un \mid u'_n\mid par une série de fonctions dont le terme général serait :

a_n=\frac{n^2b^2-1}{(1+n^2a^2)^2}

on voit bien que plus on se rapprochera de 0, plus il faudra un n=N grand pour que l'entité n^2b^2-1 soit positive. Cela veut donc dire qu'entre n=0 et le n=N suffisamment grand, on aura bien a_n=\frac{n^2b^2-1}{(1+n^2a^2)^2} négatif, ce qui m'apparait en contradiction avec le théorème qui dit « série à termes positifs pour tout n de \N ».

Cela veut-il dire que j'ai mal saisi le théorème, et que le fait que le « pour tout n de \N » venant après le « s'il existe une série numérique à termes positifs convergente » a son importance ?

Vous remerciant.

Posté par
luzakre : La (dure) loi des séries 24-10-19 à 17:58

Ton "plus on se rapprochera de 0, plus il faudra un n=N grand " (que je qualifie de verbiage, mais ce n'est pas une méchanceté) gagnerait à être plus simplement écrit : pour n>n_0=\dfrac1b on a n^2b^2-1>0\text{ et }|u'_n(x)|<\cdots

Quant à ta question sur le "pour tout n ",c'est un peu le mystère du "à partir d'un certain rang" qui n'est pas bien compliqué à comprendre.

Si pour n>n_0 tu as la majoration |u'_n(x)|<z_n et \sum z_n convergente, tu peux considérer la série \sum h_n définie par
\forall n\in\{0,\cdots,n_0\}, h_n=\max_{n\leq n_0}\sup_{a\leq x\leq b}|u'_n(x)| (il s'agit du plus grand réel d'un ensemble fini de réels)
et \forall n\in\{n_0,\cdots\},h_n=z_n.
Tu auras encore une série convergente \sum h_n (car la convergence d'une série ne change pas si tu modifies les premiers termes) et cette fois, \forall n\in\N,\;\forall x\in[a,b],\;|u'_n(x)|<h_n ce qui correspond à la convergence normale de ta définition.

Bref si tu peux majorer les termes à partir d'un certain rang, c'est gagné !

Si tu préfères, tu majores en supposant n>n_0 par des termes positifs formant une série convergente et tu peux toujours mettre les termes manquants pour garantir la majoration pour tout n (en choisissant des termes positifs bien entendu) tu auras toujours une série majorante convergente.

Posté par
Fractalre : La (dure) loi des séries 24-10-19 à 19:26

Ok, je te remercie.

Posté par
Fractalre : La (dure) loi des séries 24-10-19 à 19:53

… mais alors pourquoi ne dit-on pas :

On dit que la série de fonctions (\sum u_n) est normalement convergente sur I s’'il existe une série numérique (\sum a_n) à termes positifs à partir d'un certaine rang n_0, convergente  telle que, pour tout n>n_0  et pour tout x de I, \mid u_n(x)\mid \le a_n.

Posté par
luzakre : La (dure) loi des séries 24-10-19 à 22:49

C'est plus compliqué à écrire !
Et attention quand même, le rang n_0 doit être indépendant de x.

Posté par
Fractalre : La (dure) loi des séries 25-10-19 à 07:49

Je te remercie.
Bon, je vais regarder tout cela à nouveau, puis prendre la suite de cet exercice.

Posté par
luzakre : La (dure) loi des séries 25-10-19 à 09:53

Ne perds pas du temps : ton énoncé est incomplet pour être utilisé à la place de la vraie définition de la convergence normale, il manque la certitude des majorations uniformes des premiers termes.
Dans mon exemple définissant les h_n j'ai utilisé sans le dire que les fonctions étaient continues sur un segment.
Dans le cas général il faudrait ajouter qu'avant le rang n_0 utile les fonctions doivent être bornées sur l'intervalle I : trop compliqué comme définition, je le répète.

Posté par
malou Webmasterre : La (dure) loi des séries 25-10-19 à 09:57

bonjour
Fractal, fonctionnalité récente réservée principalement au supérieur
au cas où un énoncé dépasse une page A4, on peut désormais mettre un lien vers le sujet pdf, qu'un modérateur rapatrie sur le site (voir la FAQ modifiée en ce sens-remarque en fin de paragraphe)

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q05 - Puis-je insérer une image dans mon message ? Comment faire ? Quelle image est autorisée ?

Posté par
Fractalre : La (dure) loi des séries 25-10-19 à 11:12

Oui, beaucoup de choses m'échappent, c'est certain.

Posté par
Fractalre : La (dure) loi des séries 25-10-19 à 13:52

N'y aurait-il pas une coquille au 6º)-a)
Ne serait-ce pas plutôt
a)- Montrer que R_n(x)\ge \sum\limits _{k=n+1}^{2n}  \frac{x}{1+4\textcolor{\red }{k}^2x^2}  
Plutôt que n ?

Posté par
luzakre : La (dure) loi des séries 25-10-19 à 15:18

Non, c'est bizarre comme écriture mais c'est exact.
On veut que tu minores par une somme finie la somme infinie PUIS que tu minores par une somme finie de termes indépendants de l'indice k.

Posté par
Fractalre : La (dure) loi des séries 25-10-19 à 15:40

Ok, je crois voir le « truc ».

Posté par
Fractalre : La (dure) loi des séries 25-10-19 à 16:06

Ok, je pense que c'est bon pour le 6-a et 6-b.

Pour la 6-c, je sais qu'une série (numérique) convergente tend vers 0.

Dois en conclure que là, vu que son reste est >(1/5), elle ne peut être uniformément convergente sur \R^{+*} ?

Posté par
Fractalre : La (dure) loi des séries 25-10-19 à 18:43

Je reprends :

Pour la 6-c, je sais que le reste d'une  série (numérique) convergente tend vers 0.

Dois en conclure que là, vu que son reste est >(1/5), elle ne peut être uniformément convergente sur \R^{+*} ?

Posté par
Fractalre : La (dure) loi des séries 25-10-19 à 18:43

* Dois-je ...

Posté par
luzakre : La (dure) loi des séries 25-10-19 à 22:55

Si la convergence est uniforme vers 0, pour toute suite u de limite nulle on devrait avoir n\mapsto R_n(u_n) de limite nulle.

Posté par
Fractalre : La (dure) loi des séries 28-10-19 à 10:03

Merci luzak,

C'est quand même quelque chose que j'ai du mal à appréhender.
Elle est CVU sur tout ]-\infty,-a]\cup[a,+\infty[ avec a>0, mais pas sur \R^*.
Pour moi, ces 2 ensembles me semblent être les mêmes (?).
Ton éclairage sera le bienvenu.

Posté par
lafol Moderateurre : La (dure) loi des séries 28-10-19 à 15:03

Bonjour
Ces deux ensembles ne sont pas les mêmes :] -a ;0[ est dans le second mais pas dans le premier....

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