Niveau autre

La fonction racine n ème où n est impair.

Posté par
lake 09-12-17 à 14:03

Bonjour à tous,

Suite à ce topic: asymptote oblique , je me pose quelques questions:

Soit $n$ un entier naturel impair.

La fonction "racine n ième" peut être considérée comme fonction réciproque de la fonction $x\mapsto x^n$ qui détermine une bijection de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ dans le cas où $n$ est impair.

A ce titre, on peut dire que son domaine de définition est $\mathbb{R}$ .

et on peut par exemple écrire sans ambiguïté: $\sqrt[3]{-8}=-2$

Il semblerait que certains limitent leurs domaines de définition à $\mathhbb{R}^+$ peut-être par souci d'homogénéité avec les fonctions $x\mapsto x^{\alpha}$ qui elles sont définies sur $\mathbb{R}^+$

Qu'en est-il exactement ?

Posté par re : La fonction racine n ème où n est impair. 09-12-17 à 17:48

Bonjour lake,
J'ai été voir le topic en question.
Il me conforte dans l'idée que demander un ensemble de définition pour une fonction est une hérésie mathématique.
J'ai tenté à une époque de convertir mes pairs à cette idée ; sans grand succès.

Pour la racine cubique, l'option existe : (c'est à la fin) et

J'ai toujours été gênée quand j'enseignais, dans un petit chapitre, les fonctions puissances en passant progressivement de l'exposant entier naturel à l'exposant réel. Je trouvais ça très embrouillant, à cause des ... ensembles de définition !

Posté par re : La fonction racine n ème où n est impair. 09-12-17 à 18:36

Merci de m'avoir répondu Sylvieg

D'autant plus que je vois bien qu'il faut un peu "se mouiller" pour répondre à ma question (ça ne se bousculait pas )

Ce que je retiens: l'un et l'autre se disent ou, l'un ou l'autre se dit ou se disent

Je viens d'ouvrir un bouquin de TS des années 2006 où il est écrit textuellement:

- dans le premier chapitre (limites et continuité):

Citation :
Définition:

    Pour tout réel positif $a$ , on désigne par $\sqrt[n]{a}$ le réel positif $b$ tel que $b^n=a$

   $b=\sqrt[n]{a}\Longleftrightarrow b^n=a\quad (b\geq 0\text{ et }a\geq 0)$ .

  La fonction $x\mapsto \sqrt[n]{x}$ s'appelle fonction racine n-ième

- puis dans le chapitre sur la fonction ln (qui fait suite à celui sur la fonction exponentielle):

Citation :
Si $n$ est en entier naturel non nul, et $x>0$ , le réel $\sqrt[n]{x}$ se note $x^{\frac{1}{n}}$ ou $e^{\frac{1}{n}\ln\,x}$ .

qui ne laisse guère de place aux $x<0$ lorsque $n$ est impair...

Posté par re : La fonction racine n ème où n est impair. 10-12-17 à 06:14

Oui, ça compliquerait les choses de devoir séparer les cas pair impair, dans des fonctions avec paramètre par exemple.
La définition de 2006 est assez nulle :
Dans la première ligne, je préférerais des "positif ou nul".
Mais surtout la parenthèse derrière l'équivalence qui ne dit pas ce qu'elle veut dire :
Pour a réel positif ou nul, $b=\sqrt[n]{a}\text{ }\Longleftrightarrow \text{ }b^n=a \text{ et }b\geq 0$ .

Et en dernière ligne, une fonction dont on ne précise pas l'ensemble de définition

Un autre topic pour demander si "positif" signifie >0 ou 0 ?

Posté par re : La fonction racine n ème où n est impair. 10-12-17 à 10:14

Citation :

Un autre topic pour demander si "positif" signifie >0 ou

0 ?

Je crois que je vais m'arrêter là

Merci pour tes commentaires

Posté par re : La fonction racine n ème où n est impair. 10-12-17 à 15:54

^{Beaucoup de (très) petits soucis en ce moment; Sylvieg (ou quelqu'un d'autre), si tu pouvais jeter un œil ici Suites sans aucune obligation bien sûr!}