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La fonction racine n ème où n est impair.

Posté par
lake
09-12-17 à 14:03

Bonjour à tous,

Suite à ce topic: asymptote oblique , je me pose quelques questions:

Soit n un entier naturel impair.

La fonction "racine n ième" peut être considérée comme fonction réciproque de la fonction x\mapsto x^n qui détermine une bijection de \mathbb{R} dans \mathbb{R} dans le cas où n est impair.

A ce titre, on peut dire que son domaine de définition est \mathbb{R}.

   et on peut par exemple écrire sans ambiguïté:  \sqrt[3]{-8}=-2

Il semblerait que certains limitent leurs domaines de définition à \mathhbb{R}^+ peut-être par souci d'homogénéité avec les fonctions x\mapsto x^{\alpha} qui elles sont définies sur \mathbb{R}^+

Qu'en est-il exactement ?


Posté par
Sylvieg
re : La fonction racine n ème où n est impair. 09-12-17 à 17:48

Bonjour lake,
J'ai été voir le topic en question.
Il me conforte dans l'idée que demander un ensemble de définition pour une fonction est une hérésie mathématique.
J'ai tenté à une époque de convertir mes pairs à cette idée ; sans grand succès.

Pour la racine cubique, l'option    existe :      (c'est à la fin)   et  

J'ai toujours été gênée quand j'enseignais, dans un petit chapitre, les fonctions puissances en passant progressivement de l'exposant entier naturel à l'exposant réel. Je trouvais ça très embrouillant, à cause des ... ensembles de définition !

Posté par
lake
re : La fonction racine n ème où n est impair. 09-12-17 à 18:36

Merci de m'avoir répondu Sylvieg

D'autant plus que je vois bien qu'il faut un peu "se mouiller" pour répondre à ma question (ça ne se bousculait pas )

Ce que je retiens: l'un et l'autre se disent ou, l'un ou l'autre se dit ou se disent

Je viens d'ouvrir un bouquin de TS des années 2006 où il est écrit textuellement:

  - dans le premier chapitre (limites et continuité):

    

Citation :
Définition:

    Pour tout réel positif a, on désigne par \sqrt[n]{a} le réel positif b tel que b^n=a

   b=\sqrt[n]{a}\Longleftrightarrow b^n=a\quad (b\geq 0\text{ et }a\geq 0).

  La fonction x\mapsto \sqrt[n]{x} s'appelle fonction racine n-ième


- puis dans le chapitre sur la fonction ln (qui fait suite à celui sur la fonction exponentielle):

  
Citation :
Si n est en entier naturel non nul, et x>0, le réel \sqrt[n]{x} se note x^{\frac{1}{n}}  ou e^{\frac{1}{n}\ln\,x}.


  qui ne laisse guère de place aux x<0 lorsque n est impair...

Posté par
Sylvieg
re : La fonction racine n ème où n est impair. 10-12-17 à 06:14

Oui, ça compliquerait les choses de devoir séparer les cas pair impair, dans des fonctions avec paramètre par exemple.
La définition de 2006 est assez nulle :
Dans la première ligne, je préférerais des "positif ou nul".
Mais surtout la parenthèse derrière l'équivalence qui ne dit pas ce qu'elle veut dire :
Pour  a  réel positif ou nul,        b=\sqrt[n]{a}\text{   }\Longleftrightarrow \text{   }b^n=a \text{   et  }b\geq 0  .

Et en dernière ligne, une fonction dont on ne précise pas l'ensemble de définition  

Un autre topic pour demander si "positif" signifie  >0  ou  0  ?

Posté par
lake
re : La fonction racine n ème où n est impair. 10-12-17 à 10:14

Citation :


Un autre topic pour demander si "positif" signifie  >0  ou  0  ?


Je crois que je vais m'arrêter là

Merci pour tes commentaires

Posté par
lake
re : La fonction racine n ème où n est impair. 10-12-17 à 15:54

Beaucoup de (très) petits soucis en ce moment; Sylvieg (ou quelqu'un d'autre), si tu pouvais jeter un œil ici Suites sans aucune obligation bien sûr!

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