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Niveau Licence Maths 1e ann
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La fonction sinus n'est pas une fonction polynomiale

Posté par
spiouk
12-09-08 à 23:32

Bonjour,

Je dois démontrer que la fonction sinus n'est pas une fonction polynomiale.
J'aimerai savoir si mon raisonnement est bon ou pas et aussi s'il faut l'améliorer (ou pas, mais il ne faut pas rêver).

Je raisonne par l'absurde:
Supposons que la fonction sinus est une fonction polynomiale.

Comme la fonction sinus n'est pas constante, son dégré est N, un entier.

On sait qu'une fonction polynomiale de degré p possède au plus p racines.

Or, sin(0)=0 et la fontion x   sin x  est 2-périodique

Donc, tous les 2k, k entier relatif, sont racine de sin(x)
Donc, sin(x) possède une infinité de racine

Or, une fonction polynôme de degré n admettent plus de n racine est la fonction polynôme nulle

Donc, sin(x) est la fonction constante nulle

On obtient une contradiction.

Donc, on en déduit que la fonction x sin(x) n'est pas une fonction polynôme.




Merci d'avance.

Posté par
Nightmare
re : La fonction sinus n'est pas une fonction polynomiale 13-09-08 à 01:32

Salut

Pourquoi ne pas simplement la dériver 4 fois et se rendre compte qu'il y a un problème?

Posté par
Nightmare
re : La fonction sinus n'est pas une fonction polynomiale 13-09-08 à 01:33

Question peut être plus intéressante :

Est-ce que pour tout x, il existe un polynôme P à coefficients dans Q tel que sin(x)=P(x) ? (En gros, est-ce que sin(x) est toujours algébrique?)

Posté par
spiouk
re : La fonction sinus n'est pas une fonction polynomiale 13-09-08 à 07:40

Merci pour ta réponse.

Ta suggestion ne me plaît bien.
Mais si elle fait référence à un argument sur le degré du polynôme, je ne vois pas pourquoi il faut aller jusqu'à la dérivée 4ème. La dérivée seconde ne suffirait-elle pas ?

Posté par
simon92
re : La fonction sinus n'est pas une fonction polynomiale 13-09-08 à 08:05

Hello, Nightmare veut faire apparaitre f(x)=f^{(4)}(x) , si l'on dérive deux fois on a f(x)=-f^{(2)}(x).

La preuve que tu avais au départ était bonne aussi, tu montre que si c'est un polynome, c'est le polynome nul, comme il ne s'annule pas en pi/2 (par exemple) alors on a une contradiction, ce n'est pas un polynome.

Posté par
Fradel
re : La fonction sinus n'est pas une fonction polynomiale 13-09-08 à 09:46

Bonjour Nightmare,

Citation :
est-ce que sin(x) est toujours algébrique?


Moi, je dirai non :
la fonction  x sin(x)  est une bijection du segment d'extrémités 0,   /2  à valeurs dans le segment d'extrémités 0, 1. Or il existe  des nombres non algébriques dans ce segment, donc sin(x) n'est pas toujours algébrique.

Qu'en penses-tu ?

Posté par
spiouk
re : La fonction sinus n'est pas une fonction polynomiale 13-09-08 à 12:50

    Merci beaucoup pour votre aide.

Mais je me pose encore une petite question    sur ce même exercice à propos de la méthode proposé par Nightmare.
Est-ce que qu'un raisonnement juste sur le degré du polynôme permet de conclure ?
En mon sens oui, mais je doute...


Fradel, je sais que la question ne s'addresse pas à moi, mais ton raisonnement me paraît correct (mais je pense souvent mal...   )

Posté par
otto
re : La fonction sinus n'est pas une fonction polynomiale 13-09-08 à 14:20

Qu'en penses-tu ?
Que ça ne prouve strictement rien:

p(x)=x
p(Pi)=Pi

Posté par
otto
re : La fonction sinus n'est pas une fonction polynomiale 13-09-08 à 14:22

Est-ce que qu'un raisonnement juste sur le degré du polynôme permet de conclure ?
En mon sens oui, mais je doute...

Pourquoi ?

Un polynôme non nul de degré N a toujours une dérivée seconde de degré N-2, donc N=N-2 ...

Posté par
jeanseb
re : La fonction sinus n'est pas une fonction polynomiale 13-09-08 à 15:27

Bonjour

Citation :
Est-ce que qu'un raisonnement juste sur le degré du polynôme permet de conclure ?


Oui, comme l'a dit Simon 92

Citation :
Pourquoi ne pas simplement la dériver 4 fois et se rendre compte qu'il y a un problème?


Peut-être parce que la méthode employée par spiouk est assez fréquente dans ce genre de démonstration...

Posté par
spiouk
re : La fonction sinus n'est pas une fonction polynomiale 13-09-08 à 16:29

Citation:
"Est-ce que qu'un raisonnement juste sur le degré du polynôme permet de conclure ?
En mon sens oui, mais je doute...

Pourquoi ?"


Je pensais aussi qu'il fallait calculer les coefficients du polynôme pour sinus et celui de sa dérivée quatrième avant de pouvoir conclure pour de bon !



Merci beaucoup pour votre aide !!  
En plus maintenant, j'ai même une seconde méthode de résolution !!!  



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