Bonjour,
Je dois démontrer que la fonction sinus n'est pas une fonction polynomiale.
J'aimerai savoir si mon raisonnement est bon ou pas et aussi s'il faut l'améliorer (ou pas, mais il ne faut pas rêver).
Je raisonne par l'absurde:
Supposons que la fonction sinus est une fonction polynomiale.
Comme la fonction sinus n'est pas constante, son dégré est N, un entier.
On sait qu'une fonction polynomiale de degré p possède au plus p racines.
Or, sin(0)=0 et la fontion x sin x est 2
-périodique
Donc, tous les 2k, k entier relatif, sont racine de sin(x)
Donc, sin(x) possède une infinité de racine
Or, une fonction polynôme de degré n admettent plus de n racine est la fonction polynôme nulle
Donc, sin(x) est la fonction constante nulle
On obtient une contradiction.
Donc, on en déduit que la fonction x sin(x) n'est pas une fonction polynôme.
Merci d'avance.
Question peut être plus intéressante :
Est-ce que pour tout x, il existe un polynôme P à coefficients dans Q tel que sin(x)=P(x) ? (En gros, est-ce que sin(x) est toujours algébrique?)
Merci pour ta réponse.
Ta suggestion ne me plaît bien.
Mais si elle fait référence à un argument sur le degré du polynôme, je ne vois pas pourquoi il faut aller jusqu'à la dérivée 4ème. La dérivée seconde ne suffirait-elle pas ?
Hello, Nightmare veut faire apparaitre , si l'on dérive deux fois on a
).
La preuve que tu avais au départ était bonne aussi, tu montre que si c'est un polynome, c'est le polynome nul, comme il ne s'annule pas en pi/2 (par exemple) alors on a une contradiction, ce n'est pas un polynome.
Bonjour Nightmare,
Merci beaucoup pour votre aide.
Mais je me pose encore une petite question sur ce même exercice à propos de la méthode proposé par Nightmare.
Est-ce que qu'un raisonnement juste sur le degré du polynôme permet de conclure ?
En mon sens oui, mais je doute...
Fradel, je sais que la question ne s'addresse pas à moi, mais ton raisonnement me paraît correct (mais je pense souvent mal... )
Est-ce que qu'un raisonnement juste sur le degré du polynôme permet de conclure ?
En mon sens oui, mais je doute...
Pourquoi ?
Un polynôme non nul de degré N a toujours une dérivée seconde de degré N-2, donc N=N-2 ...
Bonjour
Citation:
"Est-ce que qu'un raisonnement juste sur le degré du polynôme permet de conclure ?
En mon sens oui, mais je doute...
Pourquoi ?"
Je pensais aussi qu'il fallait calculer les coefficients du polynôme pour sinus et celui de sa dérivée quatrième avant de pouvoir conclure pour de bon !
Merci beaucoup pour votre aide !!
En plus maintenant, j'ai même une seconde méthode de résolution !!!
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