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la manière de diophante
bonjour à tous et à toutes,
je viens vers vous car notre professeur nous a donné cet exercice de mathématiques a faire, j'ai répondu à toutes les questions mais je ne sais pas si je suis sur la bonne longueur d'ondes ou alors pas du tout merci d'avance. Voici l'énoncé.
On cherche à trouver deux nombres dont la somme est 20 et le produit 96
A Une première solution
On note x et y les deux nombres cherchés, x étant supérieur ou égal à y.
1. Traduire algébriquement le problème.
s/2 = 20/2 =10
d2= 102-96
=100-96
d=
4
d=2
x=10+2=12
y=10-2=8
2. Développer et réduire (x+y)2-(x-y)2.
(x+y)2-(x-y)2
=x2+2xy+y2-(x2-2xy+y2)
= x2+2xy+y2-x2-2xy+y2
=2xy+2xy
=4xy
3. En déduire (x-y)2 puis x-y. Justifier.
(x+y)2 -(x-y)=4xy
202-(x-y)2 =4*96
400-384 = (x-y)2
16= (x-y)2[(x-y)2]=4
|x-y| = 4 puisque x> alors x-y >0 et| x-y| = x-y
x-y=4
4 en déduire (x+y) +(x-y) puis x et y.
x+y = 20 x-y =4
2x=24
2x/2 = 24/2
x=12 y=8
B. Une solution à la manière de Diophante.
1. Si les deux nombres étaient égaux et de somme 20, quels seraient ces deux nombres est ce une solution du problème posé ?
si les nombres étaient égaux cela ferait
2x=20
x=20/2
x=10
ce serait 10
est ce la solution ?
Non car
10+10 =20
10*10 = 100
2. Les deux nombres n'étant pas égaux, on s'intéresse à leur écart a avec 10. On écrit alors le plus grand des deux nombres, donc x, sous la forme x= 10+a.
a. Exprimer y en fonction de a.
si x = 10 + a alors y = 10 - a
x+y = 20
10+a+y=20
y=20-10-a
y=10-a
b. Exprimer le produit xy en fonction de a.
xy = (10 + a)(10- a)
xy = 100 - a2
c. En déduire l'équation dont a est solution puis la valeur de a.
100 - a2 = 96
a2 = 100 - 96
a2 = 4
a = 2
d. En déduire x et y. Vérifier le résultat.
x= 10+a
x=10+2
x=12
y=10-a
y=10-2
y=8
Bonjour,
Au A)1), il est demandé une traduction du problème posé. Il n'est pas demandé de le résoudre.
Tu y utilises les lettres s et d sans dire ce que c'est.
Tu n'as rien à y faire d'autre que traduire avec les lettres x et y "la somme est 20 et le produit 96".
Bonjour,
Au A)1), il est demandé une traduction du problème posé. Il n'est pas demandé de le résoudre.
Tu y utilises les lettres s et d sans dire ce que c'est.
Tu n'as rien à y faire d'autre que traduire avec les lettres x et y "la somme est 20 et le produit 96".
Bonjour merci de m'avoir répondu
en faite j'ai recopié ce que notre professeur avait écrit sur un exercice sans nous expliqué ce que cela voulait dire
donc en gros je dois juste écrite x+y = 20 et xy =96 c'est cela ?
Pour b)2)c), il faut justifier le passage de
Le reste est bon
Par contre je ne comprends pas ce que vous voulez dire par justifier les réponses de 2. b et c
Je voulais écrire B)2)c).
Le passage de a2 = 4
à
a = 2.
En général, l'égalité a2 = 4 ne suffit pas pour en déduire a = 2.
Tu l'as très bien fait à la fin de A)3).
PourA)1), oui, écrire x+y = 20 et xy= 96 suffit.
a2 = 4 sans autre information ne permet pas d'affirmer a =2.
a2 = 4 sans autre information permet d'affirmer ceci : a =2 ou a = -2.
Il faut donc justifier que a ne peut pas être égal à -2 dans l'exercice.
Dans A)3), tu as utilisé des valeurs absolues. C'est un peu compliqué.
pour l'exercice 3 du grand A j'avais écris cela comme réponse
(x+y)2 -(x-y)=4xy
202-(x-y)2 =4*96
400-384 = (x-y)2
16= (x-y)2
x-y=4
mais c'est un surveillant qui m'a dit d'écrire cela
après
16=(x-y)[/sup]
[(x-y)2]=4
|x-y| = 4 puisque x> alors x-y >0 et| x-y| = x-y
x-y=4
car d'après lui ma réponse était fausse je lui ai demandé de m'expliqué ce qu'il avait fait mais il ne l'a pas fait.
pour B question 3 Je ne comprends pas ce que je dois justifier dans le passage a[sup]2 = 4 donc a =2
pouvez vous me l'expliquer s'il vous plait
D'accord.
a2 = 4 est équivalent à
a2 - 4 = 0 .
Qui se factorise : (a+2)(a-2) = 0
Règle du produit nul : a+2 = 0 ou a-2 = 0
Équivalent à a = -2 ou a = 2 .
De même pour (x-y)2 = 16
:
(x-y)2 - 42 = 0
( (x-y) -4 )( (x-y) + 4 ) = 0
x-y = 4 ou x-y = -4
donc le reste de ma réponse pour la question 3 du grand B est après a2 =4
j'écris
a[/sup]2-4 = 0
(a+2)(a-2) = 0
a+2 = 0 ou a-2 = 0
a =-2 ou a =2
de la même manière que pour (x-y)[sup]2 = 16
J'avais commencé a écrire
a2-4 =0
(a+2)(a-2) = 0
mais le surveillant qui était la en perm m'avait dit que ma réponse était fausse donc m'a écrit sa formule sans rien m'expliquer.
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