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La monotonie d'une fonction convexe

Posté par
Mandech 07-02-24 à 05:11


modération > **Bonjour***
Soit f une fonction de classe C² définie sur 0 à+ infinie tel que pour x élément de 0 à+ infinie f"(x)>af(x)>0 avec a>0
f est aussi majorée sur 0 à + infinie
1) montrer que f est décroissante sur [0,+infinie)

D'après moi on peut dire que la fonction est convexe par le fait que sa dérivée seconde soit strictement positif et la dérivée première est croissante
Cependant je vois comment relier ça au signe de f' pour dire que f est décroissante et si vous pouvez je serai ravie merci !

Posté par
carpediemre : La monotonie d'une fonction convexe 07-02-24 à 12:25

salut

si f"(x) > af(x) > 0 sur [0, +oo[ avec a > 0 alors f(x) > 0

si f est majorée par M sur l'intervalle [0, +oo[ alors on peut écrire aussi pour tout réel x : f(x) = f(0) + \int_0^x f'(x)dx = f(0) + xf'(x) - \int_0^x xf''(x)dx < M

à voir ...

Posté par
Mandechre : La monotonie d'une fonction convexe 07-02-24 à 15:38

carpediem
Merci je vais tenter

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : La monotonie d'une fonction convexe 07-02-24 à 16:16

Bonjour,

On pourra utiliser le fait que si une fonction est convexe

alors sa courbe est au dessus de toutes ses tangentes ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : La monotonie d'une fonction convexe 07-02-24 à 18:30

Je m'explique :

\bullet Supposons (par l'absurde) que \Large\boxed{\exists x_0\geqslant0~,~f'(x_0)>0}.

Alors par convexité de f sur \mathbb R_+, on aurait \Large\boxed{\forall x\geqslant0~,~f(x)\geqslant f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)}

et donc \Large\boxed{\lim_{+\infty} f=+\infty} ce qui contredit le fait que f est majorée sur \mathbb R_+. sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
Mandechre : La monotonie d'une fonction convexe 07-02-24 à 22:35

elhor_abdelali
Salut merci beaucoup ça me paraît très juste et je comprends maintenant !!😊

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : La monotonie d'une fonction convexe 08-02-24 à 00:04

C'est un plaisir Mandech


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