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La notion de presque partout
Salut 
Je viens d'aborder la notion de presque partout.
J'ai pris un exemple pour me fixer les idées.
Je prends sur [0,1] avec la mesure de Lebesgue.
Donc
Pour x=1, qui diverge
Est-ce que je peux dire que f_n converge presque partout vers 0 ?
Pour le justifier, il faudrait montrer que est de mesure nulle, est-ce bien ça ? (première question)
`
Oui, c'est ça, elle converge vers 0 pour tout point de [0,1], sauf 1.
Or un point est un ensemble de mesure nulle, donc elle converge presque partout vers 0.
Or un point est un ensemble de mesure nulle, donc elle converge presque partout vers 0.
Oui d'accord (j'aurai plutôt dit un singlement mais ça revient au même non ?)
c'est quand même un beau terme 'singlement', je le garde sous le coude pour épater la galerie un de ces 4 
17ème sans aucun doute.
Si on va en L2 c'est fini je pense on s'en remettra jamais puis on a tellement de soucis financiers qu'ils nous relegueraient en National.
Moi qui avait été attiré par le titre du message 
De toute façon, tout le monde sait bien que le seul grand club est l'OL 
a+
Pour revenir au message initial, le Rudin consacre une moitié de chapitre (la fin du chapitre 1) à la notion du presque partout. "Real and complex analysis", Walter Rudin, il en existe une version (la 3e) éditée chez Dunod en français. Selon moi c'est la bible, mais la version française comporte trop d'erreurs à mon gout.
Je ne suis pas vraiment spécialiste de grand chose
Mes intérets sont portés en analyse complexe, analyse harmonique et théorie du potentiel. J'aime bien l'analyse fonctionnelle, mais c'est un peu loin pour moi.
La théorie du potentiel est proche de l'analyse harmonique.
Elle étudie les applications harmoniques et sous harmoniques (surharmonique).
Une fonction harmonique est une application dont le laplacien est nul. Une application sous harmonique est une application dont le laplacien (au sens des distributions, parce que les applications ne sont pas nécessairement continues, mais juste semi-continues) est positif.
Il y'a beaucoup de lien entre une fonction sous harmonique et une fonction harmonique.
En fait c'est assez naturel, vue que les fonctions harmoniques sont les fonctions à la fois sur et sous harmoniques.
Par exemple, si une fonction harmonique est une fonction continue dont les moyennes sur les cercles de centre a, sont exactement les valeurs en a, les fonctions sous harmoniques sont celle telles que la valeur moyenne sur un cercle de centre a, son supérieures à la valeur en a.
Il y'a beaucoup de liens de ce genre.
La théorie du potentiel prend vraiment son sens à partir du théorème de Frostman.
En théorie du pontentiel, on défini une fonction, que l'on appelle le potentiel, qui est le produit de convolution d'une certaine fonction (qui dépend du contexte et de la variété sur laquelle on travaille, moi je travaille surtout avec des log ou des log pondérés qui apparaissent naturellement en dimension 2) avec une mesure de probabilité.
Une telle application est sous harmonique et vérifie de belles propriétés, notamment grace au théorème de Frostman. On pourrait en parler pendant des heures pour aborder des vrais concepts qui commencent à devenir intéressant, mais d'ici là, ca aura ennuyer à peu près tout le monde sur le forum.
En gros, la théorie du potentiel est très utile en théorie des fonctions, en théorie de l'approximation et en analyse complexe.
Pour mon M.Sc j'ai travaillé sur des théorèmes de représentation, et tu te rends compte que les notions de théorie du potentiel (sur le disque hyperbolique) interviennent de façon très naturelle.
En bref, on peut trouver un équivalent du théorème de Riemann, mais l'énoncé passe par des notions de théorie du potentiel.
Si tu veux faire court:
Tu connais le diamètre d'un ensemble compact.
Tu prends 2 points et tu maximises leur distance. Appelle ca d2
Prends 3 points et maximise la moyenne (géométrique) de leur distance (pseudo-distance hyperbolique), tu obtiens d3.
Prends 4 points et maximise la moyenne de leur distance tu as d4.
etc
Fais tendre n vers l'infini, tu obtiens le diamètre transfini de ton ensemble. d_n est une suite croissange et convergente vers une certaine valeur que l'on appelle capacité hyperbolique (Szegö). Intuitivement, on voit que si les points qui maximisent ta distance sont des charges (éléctriques par exemple), tu as que ces charges vont se retrouver sur le bord de ton compact. Ca donne le théorème suivant:
Le diamètre transfini d'un compact K est égal à celui de sa frontière extérieure. (la frontière extérieure étant la frontière de la composante non bornée du complémentaire)
Le théorème de représentation de Riemann en connectivité 2 serait celui-ci:
Si tu as un compact K, connexe, dans le disque unité, et que tu t'intéresse au domaine borné par le cercle unité et la frontière extérieure de K, alors ce domaine, appelons le U, est conforme au disque unité privé du disque de rayon r, où r est le diamètre transfini hyperbolique de K.
Voilà, c'est fortement non trivial, mais c'est un bel exemple d'application de la théorie.
3 bons livres sur le sujets sont:
Thomas Ransford : Potential theory in the complex plane.
Masatsugu Tsuji : Potential theory in modern function theory.
John B. Garnett et Donald E. Marshall : Harmonic measure.
Sur ce,
bonne soirée.
a+
Le disque hyperbolique, c'est le disque unité, muni d'une métrique à courbure négative. (-1).
C'est le bon vieux disque unité classique, sauf que ce n'est pas la même métrique dessus.
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