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la règle de d'alembert

Posté par
gigig 14-03-17 à 10:51

bonjours!
svp un petit éclairciement
théorème:
si la série \sum_{}^{}{Un} converge , alors son terme général tend vers 0

soit (un) une suite strictement positive si(\frac{Un+1}{Un})
converge vers une limite l< 1 alors (Un) converge vers 0et par la règle de d'alembert la série de terme générale (Un) converge
mais d'après le théorème ci-dessus (Un) converge vers 0 n'implique pas que la série est converge.
merci

Posté par
lionel52re : la règle de d'alembert 14-03-17 à 11:08

Salut, les 2 théorèmes n'ont pas grand chose à voir.

Si \frac{U_{n+1}}{U_n} \to L alors tu peux montrer qu'il existe un réel \epsilon > 0 tel que L+\epsilon < 1, un entier N > 0 et un réel K > 0 tel que pour tout n > N,

U_n \leq K(L+\epsilon)^n  Et la série de droite est convergente...

En effet pour faire rapidement, Un+1/Un converge vers L < 1. Donc il existe e tel que pour N assez grand et pour n >= N Un+1/Un< L+e
Soit n > N alors Un/UN = Un/Un-1 * Un-1/Un-2 * .... * UN+1/UN <= (L+e)^(n-N)

Et U_n \leq U_N(L+e)^{n-N} = \frac{U_N}{(L+e)^N} (L+e)^n = K(L+e)^n

Posté par
gigigre : la règle de d'alembert 14-03-17 à 11:20

bonjours lionel15
je suis d'accord mais cette démonstration montre que la suite (Un) tend vers 0
et pourquoi?
U_n \leq K(L+\epsilon)^n  Et la série de droite est convergente...

Posté par
lionel52re : la règle de d'alembert 14-03-17 à 11:49

La série des (L+\epsilon)^n est convergente! (série géométrique de raison < 1)



  

Posté par
gigigre : la règle de d'alembert 14-03-17 à 13:15

merci


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