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Lagrangien

Posté par
matheux14 09-11-22 à 16:28

Bonsoir,

Soit

\mathcal{J} (x, \lambda_1, \lambda_2) = \lambda_1(-x_1 - 2x_2-x + 1)  + G(x)  - \lambda_2(2x_1 - x_2 - 3x_3 - 4) le Lagrangien d'un problème d'optimisation.

1) Trouver les contraintes de ce problème et dire si elles sont qualifiées.

2) Quelles sont les conditions nécessaires d'optimalité de Lagrange avec G(x) = x^2_1 + x^2_2 + x^2_2 ?

1) Pour une optimisation sous plusieurs contraintes prenant la forme d'équations du Lagrangien,

Les contraintes sont : F_1(x) =-x_1 - 2x_2-x + 1 et F_2(x) = 2x_1 - x_2 - 3x_3 - 4

Sont elles qualifiées ?
Je ne vois pas vraiment comment répondre à ça.

Merci d'avance.

Posté par
carpediemre : Lagrangien 09-11-22 à 16:53

salut

un x sans indice ... alors que tous les autres ont des indices ...

une expression de G(x) pour le moins ... chez moi a + a = 2a

donc revois ton énoncé ...

Posté par
matheux14re : Lagrangien 09-11-22 à 16:58

\mathcal{J} (x, \lambda_1, \lambda_2) = \lambda_1(-x_1 - 2x_2-x_3 + 1)  + G(x)  - \lambda_2(2x_1 - x_2 - 3x_3 - 4)

1) Les fonctions contraintes F_1  et F_2 étant toutes linéaires,  elles sont qualifiées

Posté par
matheux14re : Lagrangien 09-11-22 à 16:59

Citation :
une expression de G(x) pour le moins ... chez moi a + a = 2a


J'ai pas compris

Posté par
matheux14re : Lagrangien 09-11-22 à 17:05

Ah je vois,

2) Quelles sont les conditions nécessaires d'optimalité de Lagrange avec G(x) = x^2_1 + x^2_2 + x^2_{{\red{3}}} ?

Posté par
matheux14re : Lagrangien 10-11-22 à 07:13

Posté par
matheux14re : Lagrangien 11-11-22 à 12:01

Bonjour,

Je rectifie l'énoncé :


Citation :
Soit

\mathcal{J} (x, \lambda_1, \lambda_2) = \lambda_1(-x_1 - 2x_2-x_3 + 1)  + G(x)  - \lambda_2(2x_1 - x_2 - 3x_3 - 4) le Lagrangien d'un problème d'optimisation.

1) Trouver les contraintes de ce problème et dire si elles sont qualifiées.

2) Quelles sont les conditions nécessaires d'optimalité de Lagrange avec G(x) = x^2_1 + x^2_2 + x^2_3 ?


Réponse  :

1) Les fonctions contraintes sont :

F_1 (x) = -x_1 - 2x_2-x_3 + 1 et F_2(x) = 2x_1 - x_2 - 3x_3 - 4

Sont-elles qualifiées ?

La matrice jacobienne \mathcal{J}_G des fonctions contraintes évaluée
au point (x_1,  x_2, x_3) s'écrit :

\mathcal{J}_G = \begin{pmatrix} \\ \dfrac{\partial F_1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial F_1}{\partial x_2} & \dfrac{\partial F_1}{\partial x_3} \\\\ \\ \dfrac{\partial F_2}{\partial x_1} & \dfrac{\partial F_2}{\partial x_2} & \dfrac{\partial F_2}{\partial x_3} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \\ -1 & -2 & -1 \\\\ \\ 2 & -1 & -3 \\ \end{pmatrix}

Les deux vecteurs-lignes de cette matrice étant linéairement indépendants, \mathcal{J}_G est de rang 2 pour tout (x_1, x_2, x_3) (donc en particulier pour (x_1^*,  x_2^*,  x_3^*)). La contrainte de qualification est donc vérifiée. Le fait que les deux contraintes soient linéaires permet aussi de l'affirmer.

Posté par
matheux14re : Lagrangien 07-12-22 à 12:50

Posté par
lafol Moderateurre : Lagrangien 11-12-22 à 18:57

Bonjour
je ne sais pas ce que tu appelles "contraintes qualifiées", mais pour moi ni F_1 ni F_2 n'est linéaire ...
(une application linéaire associe toujours le vecteur nul au vecteur nul, or F_1(0,0,0) =1 et F_2(0,0,0)=-4)


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