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Niveau Licence Maths 1e ann
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Langage d ensemble

Posté par
Rakmetov
13-10-21 à 17:40

Bonjour je suis bloqué sur un exercice

Pour tout nombre entiers n on note nZ le sous ensemble de Z formé des entiers de la forme nk avec k € Z
Simplifier 2Z inter 3Z

Desolee pour le symbole de l intersection

Posté par
jsvdb
re : Langage d ensemble 13-10-21 à 17:50

Bonjour Rakmetov.
commence par trouver quelques nombres dans 2Z \cap 3\Z
Ou, pour dire les chose autrement, être dans 2\Z signifie "être multiple de 2", être dans 3\Z signifie "être multiple de 3" donc être dans 2\Z \cap 3\Z signifie "être multiple de ?"

Posté par
Rakmetov
re : Langage d ensemble 13-10-21 à 18:04

6z par exemple

Posté par
Rakmetov
re : Langage d ensemble 13-10-21 à 18:06

Je voyais ça aussi mais pour la démonstration ça reviendrait à dire que 2Z inter 3Z = 6Z et pour le démontrer je suis en position latérale de sécurité (j ai du mal)

Posté par
Rintaro
re : Langage d ensemble 13-10-21 à 18:39

bonsoir,

pour démontrer l'égalité de deux ensembles, comment est-ce que l'on procède usuellement ?

Posté par
Rakmetov
re : Langage d ensemble 13-10-21 à 18:54

Si A=B il faudrait démontrer que A soit inclus dans B'et que B soit inclus dans A

Posté par
jsvdb
re : Langage d ensemble 13-10-21 à 19:10

Il y a un sens facile, c'est 6\Z \subset 3\Z \cap 2\Z, car tout multiple de 6 est multiple de 2 et de 3.

C'est l'autre sens qui est intéressant. 3\Z \cap 2\Z \subset 6\Z.

Soit donc n \in 3\Z \cap 2\Z. Comment écrire n de deux façons ?

Posté par
Rakmetov
re : Langage d ensemble 13-10-21 à 19:41

On sait que 3 z et 2 z sont des multiples il serait possible d écrire que 2|n et 3|n par exemple

Posté par
jsvdb
re : Langage d ensemble 13-10-21 à 19:54

Or par définition :
2|n signifie qu'il existe un k \in \Z tel que ...
3|n signifie qu'il existe un ... tel que ...

Posté par
Rakmetov
re : Langage d ensemble 13-10-21 à 20:07

Tel que n=2k
Tel que n=3k

C est bien ca

Posté par
jsvdb
re : Langage d ensemble 13-10-21 à 21:26

non, relis toi, n ne peut pas être à la fois égal à 2k et à 3k (sauf n = 0 avec k = 0, mais on travaille en toute généralité).
Donc on va dire n = 2k et n = 3p.
Maintenant, le but est de montrer qu'il existe un d tel que n = 6d.
Quel argument va-t-on utiliser ici ?

Posté par
Rakmetov
re : Langage d ensemble 14-10-21 à 02:19

Que si d divise à et b d divise tout entier naturel ma + mb par exemple

Posté par
Rakmetov
re : Langage d ensemble 14-10-21 à 02:20

Que si n divise 2k et 3p alors n divise tout entier m(2k)+n(3p)

Posté par
jsvdb
re : Langage d ensemble 14-10-21 à 08:57

C'est flou !
On a dit que n = 2k = 3p donc \blue 2k = 3p
Ici, il faut utiliser le fait que 2 et 3 sont premiers entre eux, donc 2|p (et 3|k).
Par suite, il existe un p' tel que \blue p = 2p'.
Je te laisse conclure proprement.

Posté par
Rakmetov
re : Langage d ensemble 14-10-21 à 19:06

Désolée je n arrive pas a le comprendre ca

Posté par
Rakmetov
re : Langage d ensemble 14-10-21 à 19:08

Ça reviendrait à dire que 3 | 2k c est bien ça

Posté par
Rakmetov
re : Langage d ensemble 14-10-21 à 19:08

Et c est le 3 | 2k que je comprends pas

Posté par
jsvdb
re : Langage d ensemble 14-10-21 à 21:12

Il n'y a rien à comprendre : si tu écris que 2k = 3p, c'est que, par définition, 3 divise 2k. Comme 3 ne divise pas 2, alors 3 divise k.

Posté par
Rakmetov
re : Langage d ensemble 14-10-21 à 21:55

C est tout ç est juste ça lol mais pourquoi j ai autant ruminer lol merci beaucoup en tout cas



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