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Niveau Maths sup
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Le calcul d'une limite

Posté par
bishem91
01-10-17 à 13:29

Bonjour,
Je n'arrive pas à résoudre la question 3. de cet exercice, pouvez-vous m'aider s(il-vous-plaît?

Soit p /{0} L'objectif de l'exercice est d'étudier la limite lorsque n tend vers + de la somme:
Sn= de k=n à np sh(1/k)

1) a)Resoudre l'équation 2sh(x)+1=0 .On désignera par alpha l'unique solution.

b)Soit f la fonction définie sur  par: f(x)=ch(x)² +sh(x). Déterminer une expression simple de f(alpha)

c)Etudier les variations de f et en déduire que , pour tout x réel, f(x)est supérieur ou égal à 0

2) Soit g la fonction définie sur ]-1;1[ par g(x)=exp(sh(x))-x-1. Étudier les variations de g (on pourra,si besoin calculer la dérivée g'' de g)

3)Prouvez l'inégalité:x appartenant à [0;1[, 1+x ≤ exp(sh(x)) ≤ 1/(1-x)

4)En déduire que,pour n ≥ 2, on a:ln((pn+1)/n)≤ Sn ≤ -ln((n-1)/pn)

5)Conclure

Merci d'avance

Posté par
luzak
re : Le calcul d'une limite 01-10-17 à 15:29

Bonjour !
Tu aurais dû mettre tes résultats !

En principe tu dois trouver que g est croissante sur [0,1] ce qui donne g(0)\leqslant g(x)\leqslant g(1).
g(0) = ???,\;g(1)=u\leqslant 0 ???
Alors g(0)+x+1\leqslant e^{\sinh x}\leqslant u+x+1 et tu montres que \dfrac1{1-x}\geqslant u+x+1 (ce qui revient à montrer que x^2-u(1-x)\geqslant0).

Posté par
bishem91
re : Le calcul d'une limite 01-10-17 à 16:46

Merci beaucoup pour votre réponse ce que je voulais c'est la question 4) je suis désolé je m'étais trompé 😕

Posté par
luzak
re : Le calcul d'une limite 01-10-17 à 17:55

Tu as tout ce qu'il te faut :
\dfrac{k+1}k=1+\dfrac1k\leqslant e^{\sinh(1/k)}\leqslant\dfrac1{1-\frac1k}=\dfrac k{k-1}
tu prends les logarithmes et tu ajoutes en remarquant que tu as des sommes télescopiques de  \ln(k+1)-\ln k et \ln k-\ln(k-1).

Dans quelques instants ce sera : "je me suis trompé, je voulais la solution du 5 "

Posté par
bishem91
re : Le calcul d'une limite 01-10-17 à 18:07

Merci beaucoup!
Non pas du tout je m'étais vraiment trompé mais merci

Posté par
luzak
re : Le calcul d'une limite 02-10-17 à 08:02

De rien, reviens quand tu veux !



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