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Le carré d'une permutation vaut l'identité

Posté par
Milka3 31-07-19 à 18:28

Bonjour,

je bloque sur l'exercice suivant et son indication.

Soit n un entier impair supérieur ou égal à 3 et \sigma \in S_n telle que \sigma^2=Id. Démontrer que \sigma possède au moins un point fixe.

Indication :  introduire la relation d'équivalence R définit par xRy ssi il existe k\in\mathbb{Z}\,, y=\sigma^k(x) .

Comment utiliser cette relation d'équivalence pour conclure au résultat ?

Posté par
jsvdbre : Le carré d'une permutation vaut l'identité 31-07-19 à 18:38

Bonsoir Milka3
Les classes d'équivalence auront deux éléments, sauf une

Posté par
jsvdbre : Le carré d'une permutation vaut l'identité 31-07-19 à 18:39

*sauf au moins une ...

Posté par
Milka3re : Le carré d'une permutation vaut l'identité 31-07-19 à 18:42

C'est-à-dire ?

Posté par
jsvdbre : Le carré d'une permutation vaut l'identité 31-07-19 à 18:54

Si l'image de 2 est 13 alors l'image de 13 est 2.
Donc il y aura une classe d'equivalence qui sera {2,13}.
Toutes les classes d'équivalence auront un ou deux éléments Et il y aura forcément une classe qui en aura qu'un.

Posté par
carpediemre : Le carré d'une permutation vaut l'identité 31-07-19 à 19:20

salut

tu as posté un fil sur les cycles .... et tu ne fais pas le lien ... dommage ...

si s2 = I alors pour tout x (x, s(x)) est un cycle puisque :

s(x) = s(x)
s[s(x)] = I(x) = x

il suffit alors de justifier qu'il existe au moins un x tel que s(x) = x ... ce qui est trivial ...


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