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Le coût moyen minimal

Posté par
MIIMY
16-09-13 à 19:16

Bonjour, j'ai un exercice à faire et j'ai tout fait excepté la dernière partie:

Une entreprise fabrique des tee-shirts; le cout total de fabrication de x centaines de tee-shirts est donné pour x appartenant à [1;100] par
C(x)=x²+50x+1200+(50/x) où C(x) est exprimé en euros.
Le cout moyen de fabrication d'une centaine de tee-shirts lorsque x centaines de tee-shirts sont fabriqués est défini par Cm(x)=C(x)/x.

1. Déterminez la quantité de tee-shirts arrondie à l'unité à fabriquer pour que le cout moyen soit minimal.
2. Précisez ce cout minimum pour une centaine de tee-shirts.


J'ai remarqué que C(x)=x²+50x+100+(50/x) = (x^3+50x²+1200x+50)/x²
donc Cm(x)=C(x)/x = (x^3+50x²+1200x+50)/x²
or f(x)= x+50+(1200x+50)/x² donc en mettant au même dénominateur, on obtient:
f(x)=[(x+50)(x²)+1200x+50]/x² = (x^3+50x²+1200x+50)/x² = Cm(x)

Mais après je suis bloquée, pouvez-vous svp m'aider. Merci

Posté par
MIIMY
re : Le coût moyen minimal 16-09-13 à 19:28

??

Posté par
lolo60
re : Le coût moyen minimal 16-09-13 à 19:32

Bonjour

Cm(x)/x = \dfrac{x²+50x+1200+\dfrac{50}{x}}{x}
 \\ 
 \\ Cm(x)/x = x+50+\dfrac{1200}{x}+\dfrac{50}{x²}
 \\ 
 \\ Cm(x)/x = \dfrac{x^3+50x²+1200x+50}{x²}

sauf erreur

Posté par
MIIMY
re : Le coût moyen minimal 16-09-13 à 19:39

Oui, c'est ce que j'ai trouvée mais comment répondre aux questions à partir de ça?

Posté par
lolo60
re : Le coût moyen minimal 16-09-13 à 19:40

pardon

Cm(x) = \dfrac{x²+50x+1200+\dfrac{50}{x}}{x}
 \\ 
 \\ Cm(x) = x+50+\dfrac{1200}{x}+\dfrac{50}{x²}
 \\ 
 \\ Cm(x) = \dfrac{x^3+50x²+1200x+50}{x²}

car C(x)/x = Cm(x)

enuite détermine q tel que C'm(x) = 0

Posté par
lolo60
re : Le coût moyen minimal 16-09-13 à 19:41

tu dérives Cm(x) et tu détermines pour quelle valeur de x elle s'annule

Posté par
Cpierre60
re : Le coût moyen minimal 16-09-13 à 19:41

A lolo60,
Attention, ta relation donne Cm(x) mais tu as écrit Cm(x) /x

Posté par
MIIMY
re : Le coût moyen minimal 16-09-13 à 19:42

Et comment déterminer q, je dois calculer la dérivé?

Posté par
lolo60
re : Le coût moyen minimal 16-09-13 à 19:43

oui, calcule C'm(x) (je me suis trompé, ce n'est pas q mais x)

Posté par
MIIMY
re : Le coût moyen minimal 16-09-13 à 19:45

Donc Cm(x)= x^3+50x²+1200x+50 / x²

donc Cm'(x)= 3x²+100x+1200 / 2x c'est ça?

Posté par
lolo60
re : Le coût moyen minimal 16-09-13 à 19:48

non, Cm(x) est de la forme u(x)/v(x) dont la dérivée est : \dfrac{u'(x)*v(x) - u(x)*v'(x)}{v²(x)}

Posté par
MIIMY
re : Le coût moyen minimal 16-09-13 à 19:53

Ah oui, donc Cm'(x)= x^3-1200x-100 / x^3 ?

Posté par
lolo60
re : Le coût moyen minimal 16-09-13 à 20:02

je calcule de mon coté , mais a premiere vue tu dois avoir x4 au dénominateur car (x²)² = x4

Posté par
MIIMY
re : Le coût moyen minimal 16-09-13 à 20:06

Oui mais en factorisant par x, on tombe sur x^3 car ca fait:
x^4-1200x^2-100x / x^4 = x(x^3-1200x-100) / x^4 = x^3-1200x-100 / x^3

Posté par
lolo60
re : Le coût moyen minimal 16-09-13 à 20:09

j'ai la meme dérivée

Posté par
MIIMY
re : Le coût moyen minimal 16-09-13 à 20:11

Ah super !
Donc après, on fait?

Posté par
lolo60
re : Le coût moyen minimal 16-09-13 à 20:13

il faut résoudre x3-1200x-100 = 0

Posté par
MIIMY
re : Le coût moyen minimal 16-09-13 à 20:20

x^3-1200x-100 = 0
x^3-1200x=100
x(x²-1200)=100
x²=1300
x= - racine 1300 et x= + racine de 1300

non je me suis gourée ?

Posté par
lolo60
re : Le coût moyen minimal 16-09-13 à 20:29

attends, je cherche de mon coté

Posté par
lolo60
re : Le coût moyen minimal 16-09-13 à 20:33

est ce que x3-1200x-100 a un rapport avec la premiere partie de ton devoir?

Posté par
MIIMY
re : Le coût moyen minimal 16-09-13 à 20:44

Oui, en réalité l'exercice représente 3 parties, les deux premieres je les ai faites.

Donc je vous met les questions pour que vous sachiez de quoi ça parle:
Partie A
Soit g la fonction définie sur [1;100] par :
g(x) = x^3 - 1200x - 100.

1) Calculer g'(x) ===> ça c'est fait g'(x) = 3x^2 - 1200.
2) Etudier les variations de g et dresser son tableau de variation.
3) Montrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution alpha dans l'intervalle [20;40].
4) Déterminé, à l'aide de la calculatrice , une valeur approchée de alpha arrondie à l'unité.
5) Déterminer le signe de g(x) sur [1;100].

Partie B
Soit f la fonction définie sur [1;100] par :
f(x) = x + 50 + (1200x + 50) / x^2.

On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal d'unités graphiques 1 cm pour 5 unités en abscisses, et 1 cm pour 20 unités en ordonnées.

1) Calculer f'(x) et montrer que f'(x) = g(x) / x^3.
2) Etudier le signe de f'(x) en utilisant les résultats de la question 5) de la partie A.
3) Dresser la tableau de variation de f sur [1;100].
4) Tracer la courbe C.
5) Résoudre graphiquement l'équation f(x) =130 (on donnera des valeurs des solutions arrondies à l'unités)

Partie C
Une entreprise fabrique des tee-shirts ; le coût total de fabrication de x centaines de tee-shirts est donné, pour x appartenant à [1;100] par C(x) =x^2 + 50 + 1200 + 50/x , où C(x) est exprimée en euros.
Le coût moyen de fabrication d'une centaine de tee-shirts, lorsque x centaines sont fabriquées, est définie par Cm(x) = C(x)/x .

1) Déterminer la quantité de tee-shirts arrondie à l'unité à fabriquer pour que le coût moyen soit minimal.
2)Préciser ce coût minimum pour une centaine de tee-shirts.

Posté par
lolo60
re : Le coût moyen minimal 16-09-13 à 20:45

ca aide beaucoup

qu'as tu trouvé comme réponse à la question 4 de la Partie A ?

Posté par
MIIMY
re : Le coût moyen minimal 16-09-13 à 20:57

J'ai trouvée:

A l'aide de la calculatrice, on observe que g(34)=-1596 et g(35)=775
De plus, g est strictement croissante sur [20;40] donc g(34)<0 et g(35)>0, ainsi 34<a<35. On en déduit que a a pour valeur rapprochée 34 a l'unité près.

Posté par
lolo60
re : Le coût moyen minimal 16-09-13 à 21:16

tu sais que la valeur pour laquelle g(x) = 0, c'est à dire x^3 - 1200x - 100 = 0, est comprise entre 34 et 35. En utilisant un tableur, une valeur approchée de g(x) = 0 est 34.68

Posté par
MIIMY
re : Le coût moyen minimal 16-09-13 à 21:19

Il me demande arrondie à l'unité, donc je met 34 ou 34,68 ?

Posté par
lolo60
re : Le coût moyen minimal 16-09-13 à 21:27

en réalité, la dérivée est x^3-1200x-100 / x^3 , pour avoir le cout minimal il faut que la dérivée s'annule soit x^3-1200x-100 = 0 or x^3-1200x-100 tu as trouvé à la parit eA question 4 que la valeur approchée de x^3-1200x-100 = 0 est 34 donc le nombre de t-shirts est 34

Posté par
lolo60
re : Le coût moyen minimal 16-09-13 à 21:29

enfin, 3400 t shirts car Le coût moyen de fabrication d'une centaine de tee-shirts lorsque x centaines sont fabriquées, est définie par Cm(x) = C(x)/x

Posté par
MIIMY
re : Le coût moyen minimal 16-09-13 à 21:32

D'accord donc, pour la premiere question: c'est 34 tee shirts à fabriquer.
Et la deuxième c'est 3400?

Posté par
lolo60
re : Le coût moyen minimal 16-09-13 à 21:40

1) Déterminer la quantité de tee-shirts arrondie à l'unité à fabriquer pour que le coût moyen soit minimal.

la quantité est 34 (sous entendu 3400 t shirts)

2)Préciser ce coût minimum pour une centaine de tee-shirts.

calcule Cm(34)

Posté par
MIIMY
re : Le coût moyen minimal 16-09-13 à 21:52

J'ai trouvée C(34) a peu près égal à 119,3 c'est ça?

Posté par
lolo60
re : Le coût moyen minimal 16-09-13 à 21:53

oui, je trouve 119,33

pour info, je me suis inspiré de ce topic : Continuité et convexité

Posté par
MIIMY
re : Le coût moyen minimal 16-09-13 à 21:55

Ahh super, merci beaucoup !!



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