Bonjour, j'ai un exercice à faire et j'ai tout fait excepté la dernière partie:
Une entreprise fabrique des tee-shirts; le cout total de fabrication de x centaines de tee-shirts est donné pour x appartenant à [1;100] par
C(x)=x²+50x+1200+(50/x) où C(x) est exprimé en euros.
Le cout moyen de fabrication d'une centaine de tee-shirts lorsque x centaines de tee-shirts sont fabriqués est défini par Cm(x)=C(x)/x.
1. Déterminez la quantité de tee-shirts arrondie à l'unité à fabriquer pour que le cout moyen soit minimal.
2. Précisez ce cout minimum pour une centaine de tee-shirts.
J'ai remarqué que C(x)=x²+50x+100+(50/x) = (x^3+50x²+1200x+50)/x²
donc Cm(x)=C(x)/x = (x^3+50x²+1200x+50)/x²
or f(x)= x+50+(1200x+50)/x² donc en mettant au même dénominateur, on obtient:
f(x)=[(x+50)(x²)+1200x+50]/x² = (x^3+50x²+1200x+50)/x² = Cm(x)
Mais après je suis bloquée, pouvez-vous svp m'aider. Merci
Oui mais en factorisant par x, on tombe sur x^3 car ca fait:
x^4-1200x^2-100x / x^4 = x(x^3-1200x-100) / x^4 = x^3-1200x-100 / x^3
x^3-1200x-100 = 0
x^3-1200x=100
x(x²-1200)=100
x²=1300
x= - racine 1300 et x= + racine de 1300
non je me suis gourée ?
Oui, en réalité l'exercice représente 3 parties, les deux premieres je les ai faites.
Donc je vous met les questions pour que vous sachiez de quoi ça parle:
Partie A
Soit g la fonction définie sur [1;100] par :
g(x) = x^3 - 1200x - 100.
1) Calculer g'(x) ===> ça c'est fait g'(x) = 3x^2 - 1200.
2) Etudier les variations de g et dresser son tableau de variation.
3) Montrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution alpha dans l'intervalle [20;40].
4) Déterminé, à l'aide de la calculatrice , une valeur approchée de alpha arrondie à l'unité.
5) Déterminer le signe de g(x) sur [1;100].
Partie B
Soit f la fonction définie sur [1;100] par :
f(x) = x + 50 + (1200x + 50) / x^2.
On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal d'unités graphiques 1 cm pour 5 unités en abscisses, et 1 cm pour 20 unités en ordonnées.
1) Calculer f'(x) et montrer que f'(x) = g(x) / x^3.
2) Etudier le signe de f'(x) en utilisant les résultats de la question 5) de la partie A.
3) Dresser la tableau de variation de f sur [1;100].
4) Tracer la courbe C.
5) Résoudre graphiquement l'équation f(x) =130 (on donnera des valeurs des solutions arrondies à l'unités)
Partie C
Une entreprise fabrique des tee-shirts ; le coût total de fabrication de x centaines de tee-shirts est donné, pour x appartenant à [1;100] par C(x) =x^2 + 50 + 1200 + 50/x , où C(x) est exprimée en euros.
Le coût moyen de fabrication d'une centaine de tee-shirts, lorsque x centaines sont fabriquées, est définie par Cm(x) = C(x)/x .
1) Déterminer la quantité de tee-shirts arrondie à l'unité à fabriquer pour que le coût moyen soit minimal.
2)Préciser ce coût minimum pour une centaine de tee-shirts.
J'ai trouvée:
A l'aide de la calculatrice, on observe que g(34)=-1596 et g(35)=775
De plus, g est strictement croissante sur [20;40] donc g(34)<0 et g(35)>0, ainsi 34<a<35. On en déduit que a a pour valeur rapprochée 34 a l'unité près.
tu sais que la valeur pour laquelle g(x) = 0, c'est à dire x^3 - 1200x - 100 = 0, est comprise entre 34 et 35. En utilisant un tableur, une valeur approchée de g(x) = 0 est 34.68
en réalité, la dérivée est x^3-1200x-100 / x^3 , pour avoir le cout minimal il faut que la dérivée s'annule soit x^3-1200x-100 = 0 or x^3-1200x-100 tu as trouvé à la parit eA question 4 que la valeur approchée de x^3-1200x-100 = 0 est 34 donc le nombre de t-shirts est 34
enfin, 3400 t shirts car Le coût moyen de fabrication d'une centaine de tee-shirts lorsque x centaines sont fabriquées, est définie par Cm(x) = C(x)/x
D'accord donc, pour la premiere question: c'est 34 tee shirts à fabriquer.
Et la deuxième c'est 3400?
1) Déterminer la quantité de tee-shirts arrondie à l'unité à fabriquer pour que le coût moyen soit minimal.
la quantité est 34 (sous entendu 3400 t shirts)
2)Préciser ce coût minimum pour une centaine de tee-shirts.
calcule Cm(34)
oui, je trouve 119,33
pour info, je me suis inspiré de ce topic : Continuité et convexité
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