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Le groupe fondamental d'un groupe topologique est abélien

Posté par
Fractal 04-01-08 à 23:40

Bonjour

Afin de montrer que le groupe fondamental de tout groupe topologique G est abélien, l'exercice propose de commencer par montrer que si on considère deux lacets c et c' basés en l'élement neutre de G, alors le concaténé cc' est homotope au lacet 3$c_p : [0,1]\rightarrow G, 3$t\maps c(t)*c'(t) (multiplication dans le groupe).

Voici ma réponse :
On considère l'application 3$H:[0,1]\times[0,1]\rightarrow G, 3$(t,s)\maps\left{c(t(2-s))\rm{ si }0\le t\le\frac{1-s}{2}\\c(t(2-s))*c'(1-(1-t)(2-s))\rm{ si }\frac{1-s}{2}\le t\le\frac{1+s}{2}\\c'(1-(1-t)(2-s))\rm{ si }\frac{1+s}{2}\le t\le1
Montrons que c'est une homotopie de cc' à cp

Déjà, pour tout 3$t\in[0,1], on a clairement 3$H(t,0)=cc'(t) et 3$H(t,1)=c_p(t) et pour tout 3$s\in[0,1], 3$H(0,s)=H(1,s)=e (neutre de G).

Il ne reste plus qu'à montrer que H est continue.
Or, H est le produit de 3$H_1:[0,1]\times[0,1]\rightarrow G, 3$(t,s)\maps c_*(t(2-s)) par 3$H_2:[0,1]\times[0,1]\rightarrow G, 3$(t,s)\maps c'_*(1-(1-t)(2-s)) où c* (resp. c'*) est le prolongement de c (resp. c') tel que c* (resp. c'*) soit défini sur [-1,2], et 3$\forall t\not\in[0,1] c_*(t)=c'_*(t)=e

c* et c'* sont continues (faut-il le justifier?), donc H1 et H2 aussi comme composées de fonctions continues, et donc H également comme produit de fonctions continues.

D'où cc' et cp sont homotopes.

Est-ce correct?


Ce qui me paraît un peu bizarre c'est que l'énoncé possédait une question intermédiaire dont je ne me sers absolument pas, il s'agissait de trouver l'image de [0,1]x[0,1] par une application bizarre, mais je ne vois absolument pas à quoi elle peut servir.

Merci d'avance

Fractal

Posté par
Fractalre : Le groupe fondamental d'un groupe topologique est abélien 05-01-08 à 11:47

Up

Fractal

Posté par
Ksilverre : Le groupe fondamental d'un groupe topologique est abélien 05-01-08 à 12:04

Salut !


euh oui, c'est juste.

Posté par
Ksilverre : Le groupe fondamental d'un groupe topologique est abélien 05-01-08 à 12:11

euh non attend,sauf erreur, il y a un défaut de continuité en t=(1-s)/2 et t=(s+1)/2...

Posté par
Fractalre : Le groupe fondamental d'un groupe topologique est abélien 05-01-08 à 12:13

Oki, merci

Mais dans ce cas à quoi sert la première question où on me demande de dessiner l'image de [0,1]x[0,1] par : 3$(t,s)\maps\{((1-s)2t+ts,ts)\rm{ si }0\le t\le\frac{1}{2}\\(ts+1-s,(1-s)(2t-1)+ts)\rm{ si }\frac{1}{2}\le t\le 1 en précisant l'image des segments horizontaux (s=constante) ?

Fractal

Posté par
Fractalre : Le groupe fondamental d'un groupe topologique est abélien 05-01-08 à 12:14

Ah zut, attends, je regarde.

Fractal

Posté par
Fractalre : Le groupe fondamental d'un groupe topologique est abélien 05-01-08 à 12:19

Alors, c'est clair que H1 et H2 sont continues.
Il faut juste s'assurer que H=H1H2.
Pour 3$t\le\frac{1-s}{2} on a 3$1-(1-t)(2-s)\le 1-\frac{(1+s)(2-s)}{2}=1-\frac{-s^2+s+2}{2}=\frac{s^2-s}{2}=\frac{s(s-1)}{2}\le 0 et de même pour l'autre côté, non?

Fractal

Posté par
Ksilverre : Le groupe fondamental d'un groupe topologique est abélien 05-01-08 à 12:20

Ba tu trouve quoi comme image ? parceque ca ressemble beaucoup à un candidat admisible pour un paramétrage ^^

Posté par
Ksilverre : Le groupe fondamental d'un groupe topologique est abélien 05-01-08 à 12:22

ba ce qui me gène, c'est que les expressions ne ce recole pas en t=(1-s)/2

si t=(1-s)/2 tu as deux expressions différentes qui ne donne pas la meme chose !

il aurait fallu 1-(1-t)(2-s)= 0 ou 1 quelque soit s, ce qui n'est pas le cas

Posté par
Fractalre : Le groupe fondamental d'un groupe topologique est abélien 05-01-08 à 12:28

Comme image je trouve Le groupe fondamental d\'un groupe topologique est abélien

Fractal

Posté par
Fractalre : Le groupe fondamental d'un groupe topologique est abélien 05-01-08 à 12:35

Ah voui, en effet ça recolle pas du tout
J'ai fait (je pense) le bon diagramme, mais je l'ai mal traduit en terme d'homotopie
Bon, j'essaye de retrouver les bons coefficients dans c et c'.

Fractal

Posté par
Ksilverre : Le groupe fondamental d'un groupe topologique est abélien 05-01-08 à 12:37

à mon avie, les fonction qu'on te sugère sont celle à utiliser^^

Posté par
Fractalre : Le groupe fondamental d'un groupe topologique est abélien 05-01-08 à 12:43

Je vais manger, je reviens tout à l'heure, mais je crois que je viens de comprendre à quoi sert cette fonction

Fractal

Posté par
Ksilverre : Le groupe fondamental d'un groupe topologique est abélien 05-01-08 à 13:29

moi je pense que fair tous simplement c(g1(s,t))*c'(g2(s,t)) donne qqch de pas trop mal non?

Posté par
Fractalre : Le groupe fondamental d'un groupe topologique est abélien 05-01-08 à 13:38

Alors, en notant J la fonction précédente et F : [0,1]x[0,1] -> G, 3$(u,v)\maps c(u)*c'(v), la fonction F°J est une homotopie de cc' à cp, sauf erreur, d'où le résultat.
La question précédente servait bien à quelque chose

Merci beaucoup !

Fractal

Posté par
Fractalre : Le groupe fondamental d'un groupe topologique est abélien 05-01-08 à 13:38

(oui voilà, surtout qu'ils introduisent juste avant la fonction F et nous demandent l'image de la diagonale u=v )

Fractal


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