D'abord, il s'agit de muni de l'addition. Donc monogène voudrait dire qu'il existe un rationnel tel que pour tout rationnel il existe un entier tel que .

Bonsoir, Robot a été trop rapide pour moi. Je t'aurais proposé de regarder le carré d'un potentiel générateur, mais je vous laisse continuer.

Bonne soirée

Laissons  Mathsterminal résoudre l'exercice, et j'expliquerai après ce à quoi je pensais.

Donc si je comprend bien cette définition: un groupe monogène est un groupe contenant un élément "a" tel que, pour tout élément x du groupe, il existe un entier n vérifiant x = a^n, ne s'applique pas au groupe muni de l'addition ?

Et je devrais plutot utiliser ta relation qui est : un rationnel a tel que pour tout rationnel b il existe un entier n appatenant à Z tel que b=na.

se note si est la multiplication, et si est l'addition.

Merci je comprend mieux.


Donc si on prend a = p/q
b=n (p/q)
donc n= b/(p/q)

Puisque n =(bq/p) qui n'appartient pas à l'ensemble Z.
Absurde.
Donc (Q,+) n'est pas monogène.

Mon raisonnement est bon ou j'ai fait n'importe quoi ? :/

Pour un b différent de a.

Je vois pas comment avancer ...

Vraiment, tu ne peux pas imaginer UN rationnel (dépendant de ) tel que ne soit pas entier ? Allons donc !

b = p/2q ?

Donc si on recommence le raisonnement.
on prend a = p/q et b= p/2q

b= na
p/2q=n (p/q)
donc n= 1/2

Puisque n =1/2 n'appartient pas à l'ensemble Z.
Absurde.
Donc (Q,+) n'est pas monogène.

Oui, on peut bien prendre b=a/2.

Maintenant je suis curieux de savoir à quoi Quentin pensait.

Finalement c'était pas si compliquée.. dsl d'avoir beugué pour si peu. Et merci bcp de m'avoir mis sur les bonnes pistes !

Avec plaisir.

posons;, ce qui est valable pour a=0!

Ok...Ce à quoi je pensais est plus compliqué.

Supposons par l'absurde que le groupe (,+) soit monogène. Alors il existe un générateur , avec , , tel que (0 n'est pas générateur). Comme on a supposé (,+) monogène, il existe un entier naturel tel que . Le générateur considéré n'est pas nul, donc par simplification, on obtient , et ainsi divise . De plus, , et comme divise , alors . (Justification rapide de ce résultat : divise et divise , donc   divise , qui vaut , et est positif, donc )
Finalement, , donc est générateur ;  ceci est absurde : ne peut pas s'écrire de la forme , où est un entier naturel.

On a donc montré que (,+) n'est pas monogène.

Mais pas pour !
Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?

Ci-dessus, je répondais à Francchoix. Pour Quentin, tu passes du temps pour rien, puisque finalement seul compte l'argument que 1/2 n'est pas entier.

Oui, c'est l'un de mes défauts de chercher souvent compliqué et je n'arrive pas à m'en défaire.